İSPAT

n basamaklı a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ sayısının 10’un kuvvetleri ile çözümlemesi aşağıdaki gibidir.

a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ = a_{n – 1}10^{n – 1} + a_{n – 2}10^{n – 2} + ... + a₁10¹ + a₀10⁰

= a_{n – 1}(10^{n – 1} – 1) + a_{n – 2}(10^{n – 2} – 1) + ... + a₁(10¹ – 1) + a_{n – 1} + a_{n – 2} + ... + a₁ + a₀           (1)

Ara ispatta görebileceğimiz gibi parantez içerisinde bulunan sayıların her biri 3’e kalansız bölünür.

(1)'deki parantezli terimlerin toplamına A ve parantezsiz terimlerin toplamına B diyelim.

A = a_{n – 1}(10^{n – 1} – 1) + a_{n – 2}(10^{n – 2} – 1) + ... + a₁(10¹ – 1)

B = a_{n – 1} + a_{n – 2} + ... + a₁ + a₀

A'daki terimlerin her biri 3'e kalansız bölünebildiği için bu terimlerin toplamı da 3'e kalansız bölünür. Buna göre c bir tam sayı olmak üzere, A = 3c; ve a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ = 3c + B eşitliklerini yazabiliriz. 3c + B'nin 3'e bölümünden kalan, B'nin 3'e bölümünden kalana eşittir. Buna göre a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀'in 3'e kalansız bölünebilmesi için B'nin 3'e kalansız bölünebilmesi gerekir. B'nin değeri a_{n – 1}a_{n – 2}...a₁a₀ sayısının basamakları toplamına eşittir.