ÇARPANLAR VE KATLAR


KONU 1: ÇARPAN NEDİR?

ÇIKMIŞ SORULAR: ÇARPANLARLA İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ


ÇIKMIŞ SORULAR: ÇARPAN NEDİR? ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ

LGS'DE ÇIKAN SORU SAYISI
Soru Sayısı
2017-2018 1
2018-2019 1
2019-2020 1
2020-2021 1
 

Aşağıda, 2013 yılından bu yana liselere giriş sınavlarında çarpan nedir konusuyla ilgili çıkan soruları ve bu soruların çözümlerini bulabilirsiniz.

(Aşağıdaki sorular Milli Eğitim Bakanlığı Yenilik ve Eğitim Teknolojileri Genel Müdürlüğü internet sitesinden alıntılanmıştır.)

2017-2018 LGS

 

(2017-2018 LGS Sorusu)

LGS çarpanlarla ilgili çıkmış soru

Yukarıdaki her bir bölümü dikdörtgen şeklinde olan dikdörtgen biçimindeki kat planı üzerinde bazı bölümlerin alanları verilmiştir.

Bu dikdörtgenlerin her birinin kenar uzunlukları metre cinsinden birer doğal sayı olduğuna göre alanı verilmeyen bölümlerin alanları toplamı en az kaç metrekaredir?

A) 36
B) 54
C) 64
D) 76

Çözüm:

Toplam alanlarını hesaplayacağımız bölümleri turuncu ile gösterelim. Ayrıca, şekli daha rahat takip edebilmek için kat planındaki bölümlere A, B... gibi isimler verelim.

LGS çarpanlarla ilgili çıkmış soru

Soruda verilenlere göre, tüm bölgeler dikdörtgen şeklindedir ve kenar uzunlukları doğal sayıdır. Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımına eşit olduğu için kat planındaki bir bölümün kenar uzunlukları, alanının çarpanlarıdır. Turuncu bölgelerin toplam alanının alabileceği en küçük değeri hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının alabileceği değerleri bulmamız gerekir.

L bölümü:

L'nin solunda ve sağında kalan bölümlerin alanları, sırasıyla, 10 m2 ve 35 m2'dir. Bu dikdörtgenlerin genişlik ve yüksekliklerinin alabileceği değerleri bulalım.

Kat planının geometrisinden dolayı, K ve M dikdörtgenlerinin yükseklikleri eşittir. Bu uzunluk, 10 ve 35'in ortak çarpanlarından biri olmalıdır.

Buna göre K ve M'nin ortak yüksekliği ya 1 m ya da 5 m'dir.

K ve M'nin yükseklikleri 1 m olsaydı, genişlikleri sırasıyla 10 m ve 35 m olurdu. Fakat bu mümkün değildir. Çünkü D'nin genişliği en fazla 24 m olabildiği halde, sadece M'nin genişliği dahi bu değeri aşmaktadır. Ortak çarpanlardan 1'i elediğimizde, geriye bir ortak çarpan kalır: 5. Buna göre, hem K'nın hem de M'nin yüksekliği kesinlikle 5 m'dir. Yan yana gelen dikdörtgenlerin yükseklikleri eşit olduğundan, L'nin yüksekliği de 5 m'dir.

LGS çarpanlarla ilgili çıkmış soru

Verilen alanları kullanarak K ve M'nin genişliklerinin metre cinsinden sırasıyla 2 ve 7 olduğunu görebiliriz. Buna göre D'nin genişliği 2 + 7 = 9 m'den uzun olmalıdır. 24'ün 9'dan büyük iki çarpanı bulunmaktadır: 12 ve 24.

D'nin genişliğini 12 m varsaydığımızda, L'nin genişliği 12 – 9 = 3 m olur. D'nin genişliğini 24 m varsaydığımızda ise, L'nin genişliği 24 – 9 = 15 m olur. Toplam alanın en küçük değerini bulmaya çalıştığımız için D'nin genişliğinin 12 m olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda L'nin alanı 3 × 5 = 15 m2 olur.

(Bir sonraki adımda, A'nın alanını hesaplarken D'nin genişliğin 12 metreden fazla olduğu çıkarsa, bu genişliğin 24 m olduğunu düşünüp, alan hesaplamalarını buna göre tekrarlamamız gerekir.)

 

A bölümü:

LGS çarpanlarla ilgili çıkmış soru

A, B ve C bölümlerinin yükseklikleri eşittir. Ortak yüksekliğin ne kadar olduğunu bulabilmek için önceki kısımda olduğu gibi verilen alanların çarpanlarına bakmamız gerekir.

Ortak çarpanlar 1 ve 7'dir. B ve C'nin yükseklikleri 1 m olamaz çünkü yükseklikleri 1 m olsaydı, genişlikleri sırasıyla 21 m ve 14 m olurdu. Yalnız bu genişliklerin toplamı D'nin tüm çarpanlarından büyüktür. Bu nedenle A, B ve C'nin yükseklikleri 7 m'dir.

Verilen alanları ve bulduğumuz yüksekliği kullanarak B ve C'nin genişliklerinin sırasıyla 3 m ve 2 m olduğunu görebiliriz. L'nin alanını hesaplarken D'nin genişliğinin 12 m olduğunu varsaymıştık. Buna göre A'nın genişliği 12 – (3 + 2) = 7 m'dir. Dolayısıyla, A'nın olası en küçük alanı 7 × 7 = 49 m2'dir.

Toplam Alan

Yukarıdaki çıkarımlara göre, turuncu bölgelerin toplam alanı en az 15 m2 + 49 m2 = 64 m2'dir.

CEVAP: C


 

2018-2019 LGS

 

(2018-2019 LGS Sorusu)

2019 LGS üst üste kartonlar-1
2019 LGS üst üste kartonlar-2
2019 LGS üst üste kartonlar-3

Kenarlarının uzunlukları santimetre cinsinden 1ʼden büyük tam sayı olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar ve bu kartonların bir yüzlerinin alanları yukarıda verilmiştir. Bu kartonlardan yüzey alanları farklı olan ikisi seçilip 3 cmʼlik kısımları üst üste yapıştırılarak aşağıdaki gibi bir dikdörtgen karton oluşturulacaktır.

2019 LGS üst üste gelen kartonlar

Bu şekilde oluşturulan kartonun bir yüzünün alanı en fazla kaç santimetrekaredir?

A) 91
B) 130
C) 154
D) 187
 

Çözüm:

Bu kartonlara küçükten büyüğe doğru (soldan sağa doğru) sırayla A, B ve C diyelim.

Soruda verilenlere göre, bir kartonun kenar uzunlukları alanının 1'den büyük çarpanlarıdır. Kartonlara ait kenar uzunluklarının santimetre cinsinden alabileceği değerleri gösteren sayı ikilileri aşağıdaki gibidir.

  • A kartonu: (5, 7)
  • B kartonu: (7, 11)
  • C kartonu: (2, 55) (5, 22) (10, 11)
2019 LGS üst üste gelen kartonlar

İki farklı karton, şekildeki gibi üst üste yapıştırılacaksa, bu kartonların kenar uzunluklarından biri aynı olmalıdır. Buna göre, olası çözümleri bulabilmek için yukarıdaki ikililerden ortak olanları seçmemiz gerekir. Ortak uzunluğa sahip olabilecek kartonlar ve bu kartonlar yapıştırıldığında oluşan şekillerin alanları aşağıdaki gibidir.

  • A ve B kartonları

    Ortak Uzunluk: 7 cm

    Alan = 7 × (11 + 5 – 3) = 91 cm2

    2019 LGS üst üste gelen kartonlar A B
  • A ve C kartonları

    Ortak Uzunluk: 5 cm

    Alan = 5 × (7 + 22 – 3) = 130 cm2

    2019 LGS üst üste gelen kartonlar A C
  • B ve C kartonları

    Ortak Uzunluk: 11 cm

    Alan = 11 × (7 + 10 – 3) = 154 cm2

    2019 LGS üst üste gelen kartonlar B C

Olası alanlardan en büyüğü 154 cm2'dir.

CEVAP: C

 

2019-2020 LGS

 

(2019-2020 LGS Sorusu)

Yükseklikleri santimetre cinsinden birer tam sayı olan aşağıdaki dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuların her birinden üçer adet vardır.

LGS kutu-kule sorusu kutu 1
LGS kutu-kule sorusu kutu 2
LGS kutu-kule sorusu kutu 3
LGS kutu-kule sorusu kutu 4

Bu kutular aşağıdaki gibi üst üste dizilerek üç ayrı blok oluşturulmuştur.

LGS kutu-kule sorusu blok 1
LGS kutu-kule sorusu blok 2
LGS kutu-kule sorusu blok 3

Bloklardaki kutuların yerleri değiştirilmeden bu üç blok üst üste konularak bir kule oluşturuluyor. Daha sonra kulenin en üstünde bulunan kutu alınıyor.

Son durumda bu kulenin yüksekliğinin santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 94
B) 90
C) 86
D) 82
 

Çözüm:

Kule oluşturulurken 4 çeşit kutunun her birinden 3'er tane kullanılmaktadır. Bu kutuların toplam yüksekliği

3(k + 3k + 5k + 7k) = 3 . 16k = 48k cm'dir.

Sorudaki blokların en üstündeki kutular k, 5k ve 7k yüksekliğindedir. Kule oluşturulurken bloklardan hangisinin en üstte olduğuna bağlı olarak bu kutulardan biri alınmaktadır.

  • k yüksekliğindeki kutu alınmışsa, kulenin boyu 48k – k = 47k cm,
  • 5k yüksekliğindeki kutu alınmışsa, kulenin boyu 48k – 5k = 43k cm ve
  • 7k yüksekliğindeki kutu alınmışsa, kulenin boyu 48k – 7k = 41k cm'dir.

k bir tam sayı olduğuna göre kulenin yüksekliği 47, 43 veya 41'e tam bölünmektedir. 90, bu sayılardan hiçbirine tam bölünmediği için santimetre cinsinden kulenin yüksekliği olamaz.

CEVAP: B


 

2020-2021 LGS

 

(2020-2021 LGS Sorusu)

Dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt aşağıdaki gibi altı dikdörtgensel bölgeye ayrılmış ve bu bölgelerden bazılarının alanları şekil üzerinde gösterilmiştir.

LGS kağıdın bir yüzü

Elde edilen bu dikdörtgensel bölgelerden her birinin kenarlarının uzunlukları santimetre cinsinden 1'den büyük birer doğal sayıdır.

Buna göre bu kâğıdın bir yüzünün alanı, santimetrekare cinsinden aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 154
B) 162
C) 180
D) 196
 

Çözüm:

Soruda verilen birimler temel alındığında dikdörtgensel bölgelerin kenar uzunlukları, alanlarının 1'den büyük çarpanları olur.

  • 35'in çarpanları : 1, 5, 7, 35
  • 21'in çarpanları : 1, 3, 7, 21
  • 44'ün çarpanları : 1, 2, 4, 11, 22, 44
  • 33'ün çarpanları : 1, 3, 11, 33

35 ve 21 sayılarının 1'den büyük tek ortak çarpanı 7'dir. Buna göre, alanı 35 cm2 ve 21 cm2 olan bölgelerin ortak kenar uzunluğu 7 cm'dir. Bu bölgelere ait diğer kenar uzunlukları ise 35 ÷ 7 = 5 cm ve 21 ÷ 7 = 3 cm'dir.

Benzer şekilde, 44 ve 33'ün 1'den büyük tek ortak çarpanı 11'dir. Dolayısıyla, alanı 44 cm2 ve 33 cm2 olan bölgelerin ortak kenar uzunluğu 11 cm'dir.

LGS kağıdın bir yüzü çözüm

Bulduğumuz kenar uzunluklarını yerlerine yazdığımızda kâğıdın genişliğinin 7 + 11 = 18 cm olduğunu görebiliriz. Ayrıca, sol alttaki bölgenin yüksekliğine x dersek, kâğıdın yüksekliği toplam 8 + x çıkar. x, 1'den büyük bir tam sayı olduğu içi kâğıdın yüksekliği en az 8 + 2 = 10 cm'dir. Buna göre, bir yüzün alanı en az 18 . 10 = 180 cm2'dir.

CEVAP: C


→KONU ANLATIMINA DÖN←

Çarpanlar ve Katlarla İlgili Çıkmış Sorular ve Çözümleri