BÖLÜM 3: ÖZDEŞLİKLER NASIL KULLANILIR?

Önceki bölümde öğrendiğimiz 3 önemli özdeşliği nasıl kullanabileceğimize dair örnekleri aşağıda bulabilirsiniz.

ÖZDEŞLİK 1

İlk özdeşlik, 2 sayının toplamı, çarpımı ve karelerinin toplamı arasında bir ilişki kurmaktadır.

a + b : Sayıların toplamı

ab : Sayıların çarpımı

a² + b² : Sayıların karelerinin toplamı

Bu değerlerden ikisi verilip, üçüncüsü istendiğinde yukarıdaki özdeşliği kullanabiliriz.

ÖRNEK:

Kareleri toplamı 85 olan iki sayının toplamı 11 ise bu sayıların çarpımı kaçtır?

Bu sayılara a ve b diyelim. Soruda a² + b² = 85 ve a + b = 11 olduğu verilip, ab’nin değeri isteniyor.

Verilen değerleri

(a + b)² = a² + b² + 2ab

özdeşliğinde yerlerine yazdığımızda

11² = 85 + 2ab

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için ab = 18 olması gerekir.

Alıştırmalar-3

Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazalım.

$\mathbf{(\color{DarkGoldenRod}a\color{black}+\color{Maroon}b\color{black})\color{RoyalBlue}^2=}$ $\mathbf{\color{DarkGoldenRod}a\color{RoyalBlue}^2\color{black}+\color{RoyalBlue}2\color{DarkGoldenRod}a\color{Maroon}b\color{black}+\color{Maroon}b\color{RoyalBlue}^2}$
Toplam	Çarpım	Kareleri Toplamı
4	3	...
4	...	8
...	33	130
16	...	130
16	15	...

CEVAPLAR

ÖZDEŞLİK 2

Bu özdeşlik, iki sayının farkı, çarpımı ve karelerinin toplamı arasında bir ilişki kurmaktadır.

a – b : Sayıların farkı

ab : Sayıların çarpımı

a² + b² : Sayıların karelerinin toplamı

Bir soruda yukarıdakilerden ikisi verilip üçüncüsü istenebilir.

ÖRNEK:

Kareleri toplamı 52 olan iki sayının çarpımı 24'e eşitse bu sayıların farkı kaçtır?

Bu sayılara a ve b diyelim. Soruda a² + b² = 52 ve ab = 24 olduğu verilip a – b’nin değeri isteniyor.

Bu değerleri

(a – b)² = a² + b² – 2ab

özdeşliğinde yerlerine koyarsak

(a – b)² = 52 – 2 . 24 = 4

sonucunu elde ederiz. Her iki tarafın da karekökünü alarak bu sayıların farkının a – b = 2 olduğunu görebiliriz.

Alıştırmalar-4

Aşağıdaki boşluklara uygun sayıları yazalım.

$\mathbf{(\color{DarkGoldenRod}a\color{black}-\color{Maroon}b\color{black})\color{RoyalBlue}^2=}$ $\mathbf{\color{DarkGoldenRod}a\color{RoyalBlue}^2\color{black}-\color{RoyalBlue}2\color{DarkGoldenRod}a\color{Maroon}b\color{black}+\color{Maroon}b\color{RoyalBlue}^2}$
Fark	Çarpım	Kareleri Toplamı
1	...	25
1	90	...
...	36	153
2	...	74
...	64	128

CEVAPLAR

ÖZDEŞLİK 3

Bu özdeşliği pay ve paydada verilen ifadeleri sadeleştirmek için kullanabiliriz.

ÖRNEK:

$\mathbf{\dfrac{\color{darkgoldenrod}a^{\color{royalblue}2}\color{black}-\color{indianred}b^{\color{royalblue}2}}{(\color{darkgoldenrod}a\color{black}+\color{indianred}b)^{\color{royalblue}2}}\color{black}=}$ $\mathbf{\dfrac{(\color{darkgoldenrod}a\color{black}-\color{indianred}b\color{black})\bcancel{\color{black}(\color{darkgoldenrod}a\color{black}+\color{indianred}b\color{black})}}{\color{black}(\color{darkgoldenrod}a\color{black}+\color{indianred}b\color{black})^{\bcancel{\color{royalblue}2}^1}}}$ $\mathbf{=\dfrac{\color{darkgoldenrod}a\color{black}-\color{indianred}b}{\color{darkgoldenrod}a\color{black}+\color{indianred}b}}$

Aynı özdeşliği, büyük sayıların kareleri arasındaki farkı kolay hesaplayabilmek için de kullanabiliriz.

ÖRNEKLER:

1812² – 1802² = (1812 – 1802)(1812 + 1802) = 10 . 3614 = 36 140
100 001² – 99 999² = (100 001 – 99 999)(100 001 + 99 999) = 2 . 200 000 = 400 000
36² – 32² = (36 – 32)(36 + 32) = 4 . 68 = 272