BÖLÜM 3: AĞAÇ VE DİREK PROBLEMLERİ

EBOB-EKOK problemlerinde, bir tarlanın etrafına dikilen ağaçlar veya direklerle ilgili sorulara çok sık rastlarız. Bu bölümde, ağaçlar ve direklerle ilgili problemleri nasıl çözebileceğimizi öğreniyoruz.

Ağaçlar Arasındaki Mesafe

Genelikle ağaç ve direk problemlerindeki tarlalar, doğru parçalarından oluşan üçgen, dörtgen vb. geometrik şekillerdir. Ayrıca, soru köklerinde köşelere de birer tane ağaç veya direk dikileceği belirtilir.

Köşelere birer tane ağaç dikildiğinde, bir kenar üzerine dikilen ağaçların eşit uzaklıkta olabilmeleri için bu kenar uzunluğunun ağaçlar arasındaki uzaklığın tam katı olması gerekir. Örneğin, aşağıdaki tarlanın kenar uzunluğu, ağaçlar arasındaki mesafenin 5 katıdır.

Tüm kenarlar için bu durum geçerli olduğundan, ağaçlar arasındaki mesafe, tüm kenar uzunluklarının böleni olmalıdır.

Ağaçlar Arasındaki En Büyük Uzaklık

Ağaçlar arasındaki uzaklık, kenar uzunluklarının ortak böleni olduğu için en büyük uzaklık kenar uzunluklarının EBOB'una eşittir.

En Az Ağaç Sayısı

En az ağaç sayısıyla, ağaçlar arasındaki uzaklığın en fazla olduğu durumda karşılaşılır. En az ağaç ya da direk sayısı, sorudaki şeklin çevresinin EBOB'a bölünmesiyle bulunabilir.

Tarlanın Şekli

Tarlanın şeklinin dikdörtgen olması şart değildir. Bu şekil üçgen, beşgen veya yamuk da olabilir. Önemli olan, tarlanın kenar uzunluklarıdır.

Kenar Uzunlukları ve EBOB

Aynı sayının birden fazla yazılması EBOB'un değerini değiştirmediğinden, sadece farklı kenar uzunluklarının EBOB'u hesaplanabilir. Örneğin, dikdörtgen şeklindeki bir tarla için sadece genişlik ve yüksekliğin EBOB'unun hesaplanması yeterlidir.

SORU:

Kenar uzunlukları 100 m ve 120 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaçlar dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

ÇÖZÜM:

En az ağaç sayısıyla, ağaçlar arasındaki uzaklığın en yüksek olduğu durumda karşılaşılır. Ağaçlar arasındaki en yüksek uzaklık ise, tarlanın kenar uzunluklarının EBOB’una eşittir.

Yukarıdaki ortak bölen listesine göre, EBOB(100, 120) = 2 . 2 . 5 = 20'dir. Bu nedenle, ağaçlar arasındaki uzaklık en fazla 20 m olabilir. Dikilebilecek en az ağaç sayısı ise, çevre uzunluğunun ağaçlar arasındaki en yüksek uzaklığa bölünmesiyle bulunabilir. Tarlanın çevresi 2(100 + 120) = 440 m olduğundan bu tarlanın etrafına en az 440 ÷ 20 = 22 ağaç dikilebilir.

SORU:

Kenar uzunlukları 60 m, 75 m ve 85 m olan üçgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere birer tane gelecek şekilde, eşit aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk kullanılması gerekmektedir?

ÇÖZÜM:

İki direk arasında kalan mesafenin metre cinsinden üç sayıya da kalansız bölünmesi gerekir. Direkler arasında en fazla kaç metre uzaklık olabileceğini bulmak için kenar uzunluklarının EBOB'unu hesaplamalıyız.

Ortak bölen listesini kullanarak EBOB(60, 75, 85) = 5 olduğunu görebiliriz. Bu sonuç bize direkler arasındaki uzaklığın en fazla 5 m olabileceğini gösterir. En az direk sayısını bulabilmek için tarlanın çevresini 5'e böleriz.

(60 + 75 + 85) ÷ 5 = 44

Buna göre, soruda anlatılan iş için en az 44 direk kullanılması gerekir.

SORU:

Kenar uzunlukları 10 m, 15 m, 10 m, 10 m ve 15 m olan beşgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu tarlanın çevresine en az kaç ağaç dikilebilir?

ÇÖZÜM:

Bu şekil bir beşgen olduğu halde, sadece 2 çeşit kenar uzunluğuna sahiptir: 10 m ve 15 m. Bu iki kenar uzunluğunun EBOB'unu almamız yeterlidir.

(NOT: Verilen tüm kenar uzunluklarını yan yana yazıp EBOB'unu alsak da aynı sonucu elde ederiz. EBOB(10, 15) = EBOB(10, 15, 10, 10, 15))

EBOB(10, 15) = 5 olduğu için ağaçlar arası mesafe en fazla 5 m olabilir. Bu tarlanın çevresi 10 + 15 + 10 + 10 + 15 = 60 m'dir. Dikilecek en az ağaç sayısı ise, 60 ÷ 5 = 12'dir.