BÖLÜM 2: İRRASYONEL SAYILAR
... ve
... birer tam sayı olmak üzere,
... şeklinde
Gerçek sayılar kümesindeki tüm sayılar ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. İkisi birden olamaz.
Rasyonel olmayan gerçek sayılara irrasyonel, irrasyonel olmayan gerçek sayılara rasyonel denir.
Bir irrasyonel sayı ondalık gösterime dönüştürüldüğünde, bu gösterimin ondalık kısımda kendini tekrar etmeyen sonsuz tane
basamak olur.
HANGİ SAYILAR İRRASYONELDİR?
... sayısı irrasyoneldir.
Tam kare olmayan tam sayıların karekökleri irrasyoneldir. Örneğin,
... ve
... sayıları irrasyoneldir.
0,14
- Virgülü attığımızda karşımıza çıkan tam sayının tam kare OLMAMASI veya
- Ondalık kısımdaki basamak sayısının tek olması gerekir.
-
...
Ondalık gösterimin virgülünü attığımızda bir tam kare sayı olan 16’yı elde ettiğimiz halde, ondalık kısımdaki basamak sayısı tek olduğu için bu sayı
irrasyonel dir. -
...
Ondalık kısımdaki basamak sayısı çift olduğu halde, 24 bir tam kare sayı olmadığı için sonuç
irrasyonel dir. -
...
Ondalık kısımdaki basamak sayısı tek olduğu ve 3 sayısı tam kare olmadığı için sonuç
irrasyonel dir.
0'la çarpma veya bölme yapmadığımız sürece, bir
Rasyonel bir sayı olan 2 ile irrasyonel bir sayı olan ... arasında yaptığımız toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu irrasyonel çıkar. Aşağıdaki sayıların tümü irrasyoneldir.
a) ..., b) ..., c) ..., d) ..., e) ..., f) ...
İki
Aşağıdaki sayılardan hangilerinin rasyonel ve hangilerinin irrasyonel olduğunu bulun.
a) ..., b) ..., c) ..., d) ..., e) ..., f) ..., g) ..., h) ..., i) ..., j) ..., k) ..., l) ...
Bazı kaynaklar, bir sayının irrasyonel olup olmadığını anlayabilmemiz için hesap makinesinde bu sayının değerini
hesaplayıp, çıkan sonucun devirli olup olmadığına bakmamızı önermektedir. Yalnız hesap makinelerinin basamak kapasitesi sınırlı olduğu için ondalık kısmın devirli olup olmadığını,
çıkan sonuca bakarak anlayamayız. Örneğin, 1'i 17'ye böldüğümüze elde edeceğimiz ondalık gösterimin tekrar eden kısmı 16 basamaklı olur. Yalnız aynı işlemi hesap makinesinde
yaptığımızda, karşımıza tekrarları göremeyeceğimiz kadar az basamak çıkar. Ayrıca, bir sayının ilk 8 veya 10 hanesindeki tekrarlar, ondalık kısmın
bu şekilde devam edeceğini garanti etmez. Örneğin, 11,11'in karekökünün ilk 9 basamağı 3,33316666 olsa da, sonraki basamaklar 6-6-6 şeklinde devam etmez.
Bir sayının irrasyonel olup olmadığını anlamak için ya bu konudakine benzer bazı temel çıkarımları kullanmalı ya da ortaokul müfredatını aşan matematiksel ispatlar yapmamız gerekir. Müfredatta olmasa da, incelemek isterseniz ...'nin neden irrasyonel olduğunun ispatına bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.
ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI
a)
