BÖLÜM 3: 1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

1. dereceden 1 bilinmeyenli bir denklemi çözebilmek için eşitliğin

bir tarafında yalnızca değişken ve
diğer tarafında yalnızca sabit bir sayı

kalacak şekilde işlemler yaparız. Bu işlemlerin sonucunda, denklemdeki değişkene göre, $\mathbf{x}=1$ , $\mathbf{a}=\dfrac{3}{5}$ gibi bir eşitlik elde ederiz. Elde ettiğimiz bu eşitlik, denklemin çözümüdür.

Bir denklem $\mathbf{x}=7$ , $\mathbf{a}=3$ gibi bir hale gelene kadar eşitliğin her iki tarafına da aşağıdaki işlemleri uygularız.

Bir terimle toplama,
Bir terimi çıkarma,
Sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ve
Sıfırdan farklı bir sayıya bölme

Aşağıdaki örnekleri inceledikten sonra, bir sonraki bölümü okuyabilirsiniz. Aynı örneklerin farklı bir yaklaşımla çözümünü sonraki bölümde bulabilirsiniz.

ÖRNEK:

$\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathbf{=7}$ denklemini çözelim.

ÖZET ÇÖZÜM:

$\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathbf{=7}$

(ADIM 1) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathbf{\color{chocolate}-2\color{black}=7}$ $\mathbf{\color{chocolate}-2}$

(ADIM 2) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$

AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1) Eşitliğin sol tarafında " $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ " ifadesini görüyoruz. $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'i sol tarafta yalnız bırakabilmek için yanındaki $\mathrm{+2}$ 'den kurtulmamız gerekir. Sol taraftan $\mathrm{\color{chocolate}2}$ çıkararak bunu başarabiliriz. Yalnız, sadece bir taraftan $\mathrm{\color{chocolate}2}$ çıkarmamız, bu eşitliği bozar. Eşitliğin devam edebilmesi için bir tarafa yaptığımız işlemi, denklemin diğer tarafına da uygulamamız gerekir. Sol tarafta $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'i yalnız bırakabilmek için her iki taraftan da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ çıkaralım.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}+2\color{chocolate}-2}$ $\mathrm{=7\color{chocolate}-2}$

(ADIM 2) Eşitliğin solundaki $\mathrm{+2}$ ile $\mathrm{\color{chocolate}-2}$ birbirini götürür ve denklem,

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$

haline gelir. Bu denklemin çözümü $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$ 'tir. Başka bir deyişle, verilen denklemde eşitliğin sağlanabilmesi için $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'in alması gereken değer $\mathrm{5}$ 'tir.

40 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN!

ÖRNEK:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}=9}$ denklemini çözelim.

ÖZET ÇÖZÜM:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}=9}$

(ADIM 1) ⇒ $\mathbf{\dfrac{3\color{#3a5998}x}{\color{chocolate}3}\color{black}=\dfrac{9}{\color{chocolate}3}}$

(ADIM 2) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}=3}$

AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1) Eşitliğin sol tarafında " $\mathrm{3\color{#3a5998}x}$ " ifadesini görüyoruz. $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'i yalnız bırakmak için, $\mathrm{3\color{#3a5998}x}$ 'i $\mathrm{\color{chocolate}3}$ 'e böleriz. Eşitliğin devam edebilmesi için aynı işlemi sağ tarafa da uygularız.

$\mathrm{\dfrac{3\color{#3a5998}x}{\color{chocolate}3}\color{black}=\dfrac{9}{\color{chocolate}3}}$

(ADIM 2) İki tarafı da $\mathrm{\color{chocolate}3}$ 'e böldüğümüzde eşitliğin solunda $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ ve sağında $\mathrm{3}$ kalır.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=3}$

Bu denklemin çözümü $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=3}$ 'tür. Denklemde $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ yerine $\mathrm{3}$ yazdığımızda iki taraf da $\mathrm{9}$ 'a eşit olur.

40 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN!

ÖRNEK:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathbf{=8}$ denklemini çözelim.

ÖZET ÇÖZÜM:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathbf{=8}$

(ADIM 1) ⇒ $\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}+2\color{chocolate}-2}$ $\mathbf{=8\color{chocolate}-2}$

(ADIM 2) ⇒ $\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}=6}$

(ADIM 3) ⇒ $\mathbf{\dfrac{3\color{#3a5998}x}{\color{chocolate}3}\color{black}=\dfrac{6}{\color{chocolate}3}}$

(ADIM 4) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}=2}$

AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

Diğer örneklerde olduğu gibi, bu denklemin çözümünde de $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ ’i yalnız bırakmaya çalışıyoruz. Yalnız bu defa, yukarıdaki örneklerin aksine, birden fazla işlem yapmamız gerekiyor.

(ADIM 1) Verilen denklemin sol tarafında bir değişken ve bir sayı, sağ tarafında ise sadece bir sayı görüyoruz. Değişken içeren terimi solda yalnız bırakabilmek için denklemin iki tarafından da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ çıkarıyoruz.

$\mathrm{3\color{#3a5998}x\color{black}+2\color{chocolate}-2}$ $\mathrm{=8\color{chocolate}-2}$

(ADIM 2) Soldaki $\mathrm{2}$ 'ler birbirini götüreceğinden, eşitliğin solunda yalnız $\mathrm{3\color{#3a5998}x}$ kalır. Sağ taraftaki işlemin sonucu ise $\mathrm{6}$ 'dır. Bu denklemi tekrar yazalım.

$\mathrm{3\color{#3a5998}x\color{black}=6}$

(ADIM 3) Soldaki $\mathrm{3\color{#3a5998}x}$ 'i $\mathrm{x}$ haline getirebilmek için iki tarafı da $\mathrm{\color{chocolate}3}$ 'e bölmemiz gerekir.

(ADIM 4) Bölme işlemini sağ tarafa uyguladığımızda $\mathrm{\dfrac{6}{\color{chocolate}3}\color{black}=2}$ sayısını elde ederiz. Böylece, solda yalnızca $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'in ve sağda yalnızca sabit bir sayının kaldığı bir eşitliğe ulaşırız.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=2}$

Verilen denklemin çözümü $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=2}$ 'dir.

40 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN!

ÖRNEK:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathbf{=8+\color{#3a5998}x}$ denklemini çözelim.

ÖZET ÇÖZÜM:

$\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathbf{=8+\color{#3a5998}x}$

(ADIM 1) ⇒ $\mathbf{3\color{#3a5998}x\color{black}-2\color{chocolate}-x}$ $\mathbf{=8+\color{#3a5998}x\color{black}\color{chocolate}-x}$

(ADIM 2) ⇒ $\mathbf{2\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathbf{=8}$

(ADIM 3) ⇒ $\mathbf{2\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathbf{\color{chocolate}+2\color{black}=8}$ $\mathbf{\color{chocolate}+2}$

(ADIM 4) ⇒ $\mathbf{2\color{#3a5998}x\color{black}=10}$

(ADIM 5) ⇒ $\mathbf{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{\color{chocolate}2}\color{black}=\dfrac{10}{\color{chocolate}2}}$

(ADIM 6) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$

AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1) Bu denklemde, eşitliğin iki tarafında da değişken içeren terimlere rastlıyoruz. Eşitliğin sağ tarafındaki $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'ten kurtulmak için iki taraftan da $\mathrm{\color{chocolate}x}$ 'i çıkarabiliriz.

$\mathrm{3\color{#3a5998}x\color{black}-2\color{chocolate}-x}$ $\mathrm{=8+\color{#3a5998}x\color{black}\color{chocolate}-x}$

(ADIM 2) Sağ tarafta, $\mathrm{+\color{#3a5998}x}$ ve $\mathrm{\color{chocolate}-x}$ birbirini götürdüğünde geriye sadece $\mathrm{8}$ kalır. Sol tarafta çıkarma yaptığımızda ise $\mathrm{2\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ ifadesini elde ederiz. Böylece eşitlik

$\mathrm{2\color{#3a5998}x\color{black}+2}$ $\mathrm{=8}$

haline dönüşür.

(ADIM 3) Sol tarafta yalnızca $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'li terimin kalabilmesi için eşitliğin iki tarafına da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ ekleyebiliriz.

$\mathrm{2\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathrm{\color{chocolate}+2\color{black}=8}$ $\mathrm{\color{chocolate}+2}$

(ADIM 4) Toplama işlemini yaptığımızda, solda $\mathrm{2\color{#3a5998}x}$ ve sağda $\mathrm{10}$ kalır.

$\mathrm{2\color{#3a5998}x\color{black}=10}$

(ADIM 5) Soldaki $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'i yalnız bırakmak istediğimizden iki tarafı da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ 'ye bölebiliriz.

(ADIM 6) Sol tarafın $\mathrm{\color{chocolate}2}$ 'ye bölümü $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'e ve sağ tarafın $\mathrm{\color{chocolate}2}$ 'ye bölümü $\mathrm{5}$ 'e eşittir.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$

Böylece, çözümün $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$ olduğunu görebiliriz.

SAĞLAMA:

Bulduğumuz sonucun sağlamasını yapabilmek için $\mathrm{3\color{#3a5998}x\color{black}-2}$ $\mathrm{=8+\color{#3a5998}x}$ denkleminde her $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ gördüğümüz yere $\mathrm{\color{#3a5998}5}$ yazıp, iki tarafta da aynı sayının çıkıp çıkmadığını kontrol edebiliriz.

$\mathrm{3.\color{#3a5998}5\color{black}-2}$ $\mathrm{=8+\color{#3a5998}5}$

Her $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ yerine $\mathrm{\color{#3a5998}5}$ yazdığımızda hem sol hem de sağ taraf, $\mathrm{13}$ 'e eşit çıkar. Aynı sayıları elde ettiğimiz için $\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=5}$ çözümü doğrudur.

40 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN!

ÖRNEK:

$\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2=}$ $\mathbf{\dfrac{\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+\dfrac{5}{3}}$ denklemini çözelim.

ÖZET ÇÖZÜM:

$\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2=}$ $\mathbf{\dfrac{\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+\dfrac{5}{3}}$

(ADIM 1) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}+2\color{chocolate}-\dfrac{x}{3}}$ $\mathbf{=\dfrac{\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+\dfrac{5}{3}}$ $\mathbf{\color{chocolate}-\dfrac{x}{3}}$

(ADIM 2) ⇒ $\mathbf{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+2}$ $\mathbf{=\dfrac{5}{3}}$

(ADIM 3) ⇒ $\mathbf{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+2}$ $\mathbf{\color{chocolate}-2\color{black}=\dfrac{5}{3}}$ $\mathbf{\color{chocolate}-2}$

(ADIM 4) ⇒ $\mathbf{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}=-\dfrac{1}{3}}$

(ADIM 5) ⇒ $\mathbf{\color{chocolate}3\color{black}\left(\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}\right)=\color{chocolate}3\color{black}\left(-\dfrac{1}{3}\right)}$

(ADIM 6) ⇒ $\mathbf{2\color{#3a5998}x\color{black}=-1}$

(ADIM 7) ⇒ $\mathbf{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{\color{chocolate}2}\color{black}=\dfrac{-1}{\color{chocolate}2}}$

(ADIM 8) ⇒ $\mathbf{\color{#3a5998}x\color{black}=-\dfrac{1}{2}}$

AÇIKLAMALI ÇÖZÜM:

(ADIM 1) Sağ taraftaki $\mathrm{\dfrac{\color{#3a5998}x}{3}}$ 'ten kurtulabilmek için iki taraftan da bu terimi çıkaralım.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}+2-\color{chocolate}\dfrac{x}{3}}$ $\mathrm{=\dfrac{\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+\dfrac{5}{3}}$ $\mathrm{-\color{chocolate}\dfrac{x}{3}}$

(ADIM 2) Sol taraftaki $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'li terimler arasında çıkarma işlemi yaptığımızda, $\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+2}$ ifadesini elde ederiz. Sağ taraftaki $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'li terimler ise birbirini götürür ve geriye sadece $\mathrm{\dfrac{5}{3}}$ kalır.

$\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+2}$ $\mathrm{=\dfrac{5}{3}}$

(ADIM 3) Şimdi de soldaki sabit sayıdan kurtulmak için iki taraftan da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ çıkaralım.

$\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}+2}$ $\mathrm{-\color{chocolate}2\color{black}=\dfrac{5}{3}}$ $\mathrm{-\color{chocolate}2}$

(ADIM 4) Sabit sayılar arasındaki çıkarma işlemlerini yaptığımızda, eşitliğin sol tarafında $\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}}$ ve sağ tarafında $\mathrm{-\dfrac{1}{3}}$ kalır.

$\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}\color{black}=-\dfrac{1}{3}}$

(ADIM 5) $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ 'li terimin paydasından kurtulabilmek için her iki tarafı da $\mathrm{\color{chocolate}3}$ 'le çarpabiliriz.

(ADIM 6) $\mathrm{\dfrac{2\color{#3a5998}x}{3}}$ 'ün $\mathrm{\color{chocolate}3}$ ile çarpımı $\mathrm{2\color{#3a5998}x}$ 'e; $\mathrm{-\dfrac{1}{3}}$ 'ün $\mathrm{\color{chocolate}3}$ ile çarpımı ise $\mathrm{-1}$ 'e eşittir.

$\mathrm{2\color{#3a5998}x\color{black}=-1}$

(ADIM 7) İki tarafı da $\mathrm{\color{chocolate}2}$ 'ye bölerek sonuca ulaşabiliriz.

(ADIM 8) Bölme işlemini yaptığımızda, solda $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ ve sağda $\mathrm{-\dfrac{1}{2}}$ sayısını elde ederiz.

$\mathrm{\color{#3a5998}x\color{black}=-\dfrac{1}{2}}$

SAĞLAMA:

Denklemde her $\mathrm{\color{#3a5998}x}$ gördüğümüz yere $\mathrm{\color{#3a5998}-\dfrac{1}{2}}$ yazdığımızda, iki tarafta da $\mathrm{\dfrac{3}{2}}$ kesrini elde ederiz.

40 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEĞİ İÇİN TIKLAYIN!

Alıştırmalar-2

Aşağıdaki denklemleri çözün.

a) $\mathrm{x+3=7}$

b) $\mathrm{8-x=5}$

c) $\mathrm{2a-1=}$ $\mathrm{a-7}$

d) $\mathrm{2-x=}$ $\mathrm{3x-6}$

e) $\mathrm{\dfrac{y}{2}-\dfrac{7}{5}=}$ $\mathrm{\dfrac{y}{3}-\dfrac{1}{2}}$

f) $\mathrm{2-\dfrac{x}{2}=}$ $\mathrm{-1+x}$

g) $\mathrm{\dfrac{z-3}{2}=}$ $\mathrm{\dfrac{z+1}{4}}$

h) $\mathrm{\dfrac{2-x}{4}=}$ $\mathrm{x+2}$

CEVAPLAR - ÇÖZÜMLER

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-2

a) $\mathrm{x=4}$ , b) $\mathrm{x=3}$ , c) $\mathrm{a=-6}$ , d) $\mathrm{x=2}$ , e) $\mathrm{y=\dfrac{27}{5}}$ , f) $\mathrm{x=2}$ , g) $\mathrm{z=7}$ , h) $\mathrm{x=-\dfrac{6}{5}}$