BÖLÜM 1: PAYLAŞTIRMA PROBLEMLERİ

EBOB-EKOK'la ilgili ilk problem türünde uzunluğu, hacmi veya ağırlığı verilen birkaç çeşit maddenin eşit parçalara bölünmesi veya eşit kaplara paylaştırılması ile ilgili problemler üzerine duruyoruz.

Hemen bir örnek soru ile başlayalım.

SORU:

80 ve 104 litrelik farklı kalitede iki çeşit zeytinyağı, birbirine karışmayacak ve artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere konularak satılacaktır. Her bir şişenin hacmi en fazla kaç litre olabilir?

ÇÖZÜM:

Bu soruda, farklı hacimlere sahip iki çeşit zeytinyağı ile karşılaşıyoruz. 80 litre olan zeytinyağına A ve 104 litre olan zeytinyağına B diyelim.

Kaç litrelik şişeler kullanabiliriz?

Bu yağların tümünü farklı kalitedeki zeytinyağları birbirine karışmayacak şekilde eşit hacimli şişelere aktarmalıyız. Yalnız bu işlem için karşımıza birden fazla seçenek çıkıyor.

1 litrelik şişeler kullandığımızda, iki zeytinyağını da artmayacak ve birbirine karışmayacak şekilde paylaştırabiliriz. Bu durumda,
- A için 80 ÷ 1 = 80 şişe ve
- B için 104 ÷ 1 = 104 şişe
kullanmamız gerekir.
Paylaştırmayı, 2 litrelik şişelerle de yapabiliriz. 2 litrelik şişeler kullandığımızda
- A için 80 ÷ 2 = 40 şişe ve
- B için 104 ÷ 2 = 52 şişe
gerekir.

Yalnız, 3 litrelik şişeler kullanamayız; çünkü, A'yı 3 litrelik şişelere doldurursak 26 şişe tam dolsa da geriye kalan 2 litre yağ, bir şişeyi tam doldurmaya yetmez. Benzer şekilde, B ile 34 şişe tam dolsa da 2 litre yağ açıkta kalır.

1 ve 2 sayıları 80'in ve 104’ün bölenleri olduğu halde, 3 sayısı bölenler içerisinde yer almaz. Bu nedenle 1 veya 2 litrelik şişeleri kullanabildiğimiz halde, 3 litrelik şişeleri kullanamayız. Yağın artmaması için kullanacağımız şişelerin hacmi hem 80'in hem de 104'ün böleni olmalıdır.

Şişelerin hacmi en fazla kaç litre olabilir?

Soruda, bu iş için kullanılabilecek şişelerin hacminin en fazla kaç litre olduğu sorulduğundan, 80 ile 104'ün en büyük ortak bölenini, yani bu sayıların EBOB’unu bulmamız gerekir. Ortak bölen listesi oluşturduğumuzda 80 ile 104'ün EBOB’unun 8'e eşit olduğunu görebiliriz.

EBOB(80, 104) = 2 × 2 × 2 = 8

Buna göre, şişelerin hacmi en fazla 8 litre olabilir.

8 litrelik şişeler kullandığımızda,

A zeytinyağı 80 ÷ 8 = 10 şişeyi ve
B zeytinyağı 104 ÷ 8 = 13 şişeyi

tam doldurur.

Yukarıdaki soruda en az kaç şişe kullanabileceğimiz sorulsaydı,

Şişelerin hacminin en fazla kaç litre olabileceğini EBOB ile hesaplayıp,
Toplam hacmi EBOB’a bölerdik.

Toplam 80 + 104 = 184 litre yağı 8 litrelik şişelere doldurmak için

184 ÷ 8 = 23

şişe gerekir. Buna göre, yukarıdaki soruda kullanılabilecek en az şişe sayısı 23'tür.

3 veya daha fazla çeşit maddenin birbirine karıştırılmadan küçük kaplara paylaştırılması ile ilgili problemlerle de karşılaşabiliriz. Kaç çeşit madde olursa olsun, EBOB kullanarak bu tarz problemleri çözebiliriz.

SORU:

Kütleleri sırasıyla 60, 90 ve 115 kilogram olan nohut, fasulye ve bulgurun tamamı, birbirine karıştırılmadan paketlere doldurulacaktır. Her pakete eşit kütlede bakliyat konulması gerekiyorsa, bu iş için en az kaç paket kullanılmalıdır?

ÇÖZÜM:

Paylaştırma sonucunda ürünlerin artmaması için paketlerin kütlesinin hem 60'ın hem 90'ın hem de 115’in çarpanı (böleni) olması gerekir. Olası kütleler (bölenler) arasındaki en yüksek değeri bulabilmek için bu sayıların EBOB'unu hesaplamalıyız.

EBOB(60, 90, 115) = 5 olduğu için paketlerin kütlesi en fazla 5 kg olabilir. Toplam kütle 60 + 90 + 115 = 265 kg olduğundan bu iş için en az 265 ÷ 5 = 53 paketin kullanılması gerekir.

"Çubuk, kereste vs. gibi uzunluğu verilen cisimlerin en büyük uzunlukta eşit parçalara bölünmesi" ile ilgili problemleri de bu kategoride değerlendirebiliriz. Aşağıdaki örneği inceleyelim.

SORU:

10, 12 ve 14 metre uzunluğundaki keresteler, eşit uzunlukta parçalara bölünmek isteniyor. Keresteler bu şekilde en az kaç parçaya bölünebilir?

ÇÖZÜM:

Ortak bölen listesini kullanarak, 10, 12 ve 14 sayılarının EBOB'unun 2'ye eşit olduğunu görebiliriz.

EBOB(10, 12, 14) = 2

Bu nedenle, bir parçanın boyu en fazla 2 m olabilir. Toplam 10 + 12 + 14 = 36 metre kereste olduğuna göre, bu keresteler eşit uzunlukta en az 36 ÷ 2 = 18 parçaya bölünebilir.