İSPAT

Üçgenin yükseklik formülünün tüm üçgenler için doğru olduğunu 3 aşamada ispatlayacağız.

1. Aşama : Dik üçgenler

Dik üçgenlerde alan formülünü ispatlayabilmek için dikdörtgenin alan formülünü ve üçgenlerde eşliği kullanıyoruz.

Dik üçgeni kullanarak bir dikdörtgen oluşturabilmek için A ve C köşelerinden sırasıyla tabana ve yüksekliğe paralel doğru parçaları çizelim. Böylece kenar uzunlukları $\mathbf{a}$ ve $\mathbf{h}$ olan bir dikdörtgen elde ediyoruz. Oluşturduğumuz dikdörtgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir.

Bir dikdörtgende karşılıklı kenarların eşit uzunluklarda olduklarını hatırlayalım. Buna göre, DC kenarının uzunluğu $\mathbf{h}$'ye ve AD kenarının uzunluğu $\mathbf{a}$'ya eşit olur. Dikdörtgenin içindeki $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$ üçgenlerine baktığımızda, kenar uzunluklarının aynı olduğunu görebiliriz.

Kenar uzunlukları eşit olan üçgenler eş üçgenlerdir ve eş üçgenlerin alanları da eşittir. $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninin alanına $\mathbf{A}$ dersek, $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$ üçgeninin alanı da $\mathbf{A}$ olur. Dikdörtgenin alanı $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$'nin alanlarının toplamına eşittir.

$\mathbf{2A}$'yı ilk bulduğumuz alan formülüne eşitlersek,

sonucuna ulaşırız. $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninin alanı $\mathbf{A}$'ya eşit olduğundan, bir dik üçgenin alanının tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğunu görebiliriz.

$\mathbf{\dfrac{ah}{2}}$ formülünün tüm üçgenler için eşit olduğunu ispatlayabilmek için tabanın yükseklikle kesiştiği ve kesişmediği durumların her ikisini de incelememiz gerekiyor. Sonraki iki aşamada bu durumların ispatını yapıyoruz.

2. Aşama: Yüksekliğin taban ile kesiştiği durum

Bir üçgende yükseklik, taban ile kesişiyorsa, bu üçgeni iki dik üçgenin birleşimi gibi düşünebiliriz. Örneğin, yukarıdaki $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninini $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABD}}$ ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$'nin AD kenarında birleştirilmiş hali olarak düşünebiliriz. 1. aşamada dik üçgenler için bulduğumuz formülü $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABD}}$ üçgeni için uyguladığımızda, bu üçgenin alanının $\mathbf{\dfrac{a_1h}{2}}$ olduğunu ve aynı formülü $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$ üçgeni için uyguladığımızda ise, alanın $\mathbf{\dfrac{a_2h}{2}}$ olduğunu buluruz. $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninin alanı, $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABD}}$ ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$ üçgenlerinin alanlarının toplamına eşittir.

Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafındaki $\mathbf{a_1+a_2}$ ifadesi $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninin tabanına ve $\mathbf{h}$ ise bu tabana ait yüksekliğe eşit olduğundan, yüksekliği tabanı ile kesişen üçgenlerde üçgenin alan formülünün geçerli olduğunu görebiliriz.

3. Aşama: Yükseliğin tabanın uzantısı ile kesiştiği durum

Yüksekliğin tabanın uzantısı ile kesiştiği bir $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeni düşünelim. Bu üçgenin alanı $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABD}}$ ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ADC}}$ üçgenlerinin alanlarının farkına eşittir. Dik üçgenler için elde ettiğimiz alan formülünü kullanarak $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABD}}$ üçgeninin alanının $\mathbf{\dfrac{(a+x)h}{2}}$'ye ve $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ACD}}$ üçgeninin alanının $\mathbf{\dfrac{xh}{2}}$'ye eşit olduğunu çıkarabiliriz. Bu iki ifadenin farkını aldığımızda $\overset{\vartriangle}{\mathbf{ABC}}$ üçgeninin alanı yine taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı çıkar.