ARDIŞIK SAYILAR

Ardışık tam sayılar: Birer birer artan veya azalan bir grup tam sayıya ardışık tam sayılar denir. Örneğin, 2, 3 ve 4 sayıları ardışıktır.

Ardışık çift sayılar: İkişer ikişer artan veya azalan çift sayılara ardışık çift sayılar denir. Örneğin, 2, 4, 6 ve 8 ardışık çift sayılardır.

Ardışık tek sayılar: Art arda gelen tek sayılara ardışık tek sayılar denir. Ardışık çift sayılar gibi ardışık tek sayılar da ikişer ikişer artar veya azalır. Örneğin, 11, 13, 15, 17 ve 19 sayıları ardışık tek sayılardır.

Ardışık sayılar negatif de olabilir. Örneğin, -2, -1, 0 ve 1 ardışık tam sayılar; -16, -14 ve -12 ardışık çift sayılardır.

Örnek:

a, b ve c küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık tam sayılardır.

b² = a + c

olduğunda göre, c'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

0² = -1 + 1 ve 2² = 1 + 3 olduğundan c'nin alabileceği değerler 1 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 1 + 3 = 4'tür.

CEVAP: 4

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI

Ardışık tam sayıların toplamını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz.

1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı n ile n'nin 1 fazlasının çarpımının yarısına eşittir.

1'den başlamayan ardışık sayıların toplamı için aşağıdaki formülü kullanabiliriz.

Ardışık sayı toplamının ortancalı formülü

Ardışık tam sayılardan oluşan bir dizinin toplamı, bu sayıların ortancası ile dizideki terim sayısının çarpımına eşittir.

Ardışık tam sayıların ortancasını hesaplayabilmek için dizideki ilk ve son terimleri (en küçük ve en büyük sayıları) toplayıp 2'ye bölebiliriz.

Küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık tam sayılardan oluşan bir dizide kaç terim olduğunu bulabilmek için son terimden ilk terimi çıkarır, sonuca 1 ekleriz. Örneğin, 11, 12, 13, 14, 15 dizisinin ortancası ...'tür. 5 terimli bu dizideki sayıların toplamı 13 × 5 = 65'tir.

Örnek:

X kümesi iki basamaklı 5 ardışık sayıdan ve Y kümesi iki basamaklı 3 ardışık sayıdan oluşmaktadır. X kümesindeki elemanların toplamı, Y kümesindeki elemanların toplamına eşittir.

A ve B birer rakam olmak üzere X kümesindeki en büyük üçüncü sayı AB ve Y kümesindeki en büyük sayı B1 ise A + B'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

X kümesindeki en büyük üçüncü sayı bu dizideki sayıların ortancasıdır. Dolayısıyla, X kümesindeki elemanların toplamı

5 · AB = 5(10A + B) = 50A + 5B'dir.

3 elemanlı Y kümesinin ortancası en büyük ikinci sayıya eşittir. En büyük sayı B1 ise bu kümenin ortancası B0'dır. Buna göre, Y kümesindeki elemanların toplamı

3 · B0 = 3 · 10B = 30B'dir.

Yukarıda elde ettiğimiz toplamları eşitleyerek B'nin 2A'ya eşit olduğunu görebiliriz.

50A + 5B = 30B

⇒ 50A = 25B

⇒ 2A = B

2A = B eşitliğini sağlayan iki basamaklı AB sayıları 12, 24, 36 ve 48'dir. Dolayısıyla, A + B'nin alabileceği en büyük değer 4 + 8 = 12'dir.

CEVAP: 12

ARDIŞIK TEK VE ÇİFT SAYILARIN TOPLAMI

2'den 2n'ye kadar olan ardışık çift sayıların toplamı n(n+1)'dir.

1'den 2n - 1'e kadar olan ardışık tek sayıların toplamı n²'dir.

Örnek:

3 basamaklı tek sayıların toplamı kaçtır?

En büyük 3 basamaklı sayı 999'dur. 1'den 999'a kadar olan sayıların toplamını bulabilmek için ilk adımda 2n - 1'i 999'a eşitleyip n'nin değerini hesaplayalım.

2n - 1 = 999

⇒ 2n = 1000

⇒ n = 500

n = 500 için formülü uygulayalım.

1 + 3 + 5 + ... + 999 = 500² = 250000

Bu toplamdan 99'a kadar olan ardışık tek sayıların toplamını çıkardığımızda geriye üç basamaklı tek sayıların toplamı kalır. Yukarıdaki yöntemi kullanarak 99'a kadar olan ardışık tek sayıların toplamını bulalım.

2n - 1 = 99

⇒ 2n = 100

⇒ n = 50

n = 50 için toplam 2500'dür.

1 + 3 + 5 + ... + 99 = 50² = 2500

Elde ettiğimiz toplamlar arasındaki fark bize soruda istenen sayıyı verir.

250000 - 2500 = 247500

CEVAP: 247500

TYT ve AYT Sınavlarında Ardışık Sayılar:

'Ardışık' teriminin TYT sınavlarında yılda ortalama 1,29 soruda geçtiğini ve AYT sınavlarında ise bu ortalamanın 0,43'e düştüğünü gözlemliyoruz. Şu ana kadar çıkan sorulardan sadece birinin ardışık sayıların toplamı ile ilgili olduğunu görüyoruz. Diğer soruların çözümü için ardışık sayılarla ilgili gerekli bilgilerin tanımlarla sınırlı kaldığını anlıyoruz.