DOĞAL SAYILAR

Doğal sayılar sıfırdan başlar ve sonsuza kadar devam eder. Bu sayı kümesi ℕ ile gösterilir.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

• En küçük doğal sayı 0'dır.
• Negatif sayılar doğal sayı değildir.
• Sonsuz tane doğal sayı vardır.

TAM SAYILAR

Tüm doğal sayılar ve bu sayıların negatiflerini içeren sayı kümesine tam sayılar kümesi ismi verilir. Tam sayılar kümesi ℤ ile gösterilir.

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

• Tam sayılar eksi sonsuzdan başlar ve artı sonsuza kadar devam eder.
• Sonsuz tane tam sayı vardır.
• 

  Doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin alt kümesidir.

  ℕ ⊂ ℤ

  Her doğal sayı tam sayıdır ama her tam sayı doğal sayı değildir. Örneğin, -3 bir tam sayı olduğu halde bir doğal sayı değildir.

POZİTİF TAM SAYILAR

0'dan büyük tam sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi ℤ⁺ ile gösterilir.

ℤ⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

• 0 pozitif tam sayı değildir.

• Doğal sayılar kümesi, pozitif tam sayılar kümesine sıfırın eklenmesiyle elde edilebilir.

  ℕ = ℤ⁺ ∪ {0}

• Sonsuz tane pozitif tam sayı vardır.

NEGATİF TAM SAYILAR

0'dan küçük tam sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi ismi verilir. Negatif tam sayılar kümesi ℤ^- ile gösterilir.

• 0 negatif tam sayı değildir.

• Negatif tam sayılar kümesi ile doğal sayılar kümesinin birleşimi tam sayılar kümesini verir.

  ℤ = ℤ^- ∪ ℕ

• Pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri ve 0'ın birleşimi tam sayılar kümesini verir.

  ℤ = ℤ^- ∪ {0} ∪ ℤ⁺

• Sonsuz tane negatif tam sayı vardır.

RASYONEL SAYILAR

... ve ... birer tam sayı ve ... sıfırdan farklı olmak üzere ... şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı ismi verilir.

• Rasyonel sayılar, ℚ sembolüyle gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır.

  ℚ = {... : ..., ... ϵ ℤ, ... ≠ 0}

• Bir sayı ... formunda olmasa da, bu forma dönüştürülebilmesi onun rasyonel olduğunu gösterir. Örneğin, ... sayısı ... formunda olmadığı halde bu forma dönüştürülebildiği için rasyonel sayıdır.

  ...

• 0 rasyoneldir.

  ...

• Doğal sayıların tümü rasyoneldir.

  ...

• Tam sayıların tümü rasyoneldir.

  ...

• Paydası 0'dan farklı olmak koşuluyla, payı, paydası ve tam kısmı tam sayı olan her kesir, rasyonel bir sayıdır.

  ...

• Virgülden sonra sonlu basamağa sahip olan her ondalık gösterim, rasyonel bir sayıdır.

  ...

• Belirli bir basamaktan sonra kendini tekrar eden ondalık gösterimler (devirli sayılar) rasyoneldir.

  ...

• Kök dışına çıkarılabilen tüm karekök ve küpkök sayılar rasyoneldir.

  ...

  ...

  ...

• 

  0'a bölme gibi tanımsız bir işlem yapılmadığı sürece, rasyonel sayılar arasında yapılan dört işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) sonucu rasyoneldir.

İRRASYONEL SAYILAR

Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı ismi verilir. İrrasyonel sayılar ... ve ... birer tam sayı ve ... sıfırdan farklı olmak üzere ... şeklinde yazılamaz.

İrrasyonel sayılar genelde ℚ' veya ℙ şeklinde gösterilir.

• Kökten çıkaramadığımız karekök ve küpkök ifadeler irrasyoneldir. Örneğin, ..., ..., ..., ..., ... ve ... sayıları irrasyoneldir.

• 

  Bir rasyonel sayıyla bir irrasyonel sayı arasında yapılan toplama veya çıkarma işleminin sonucu irrasyoneldir.

• 

  Bir irrasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı veya bölümü irrasyonel bir sonuç verir.

• 

  İki irrasyonel sayı arasında yapılan dört işlem sonucu rasyonel de irrasyonel de olabilir.

• İrrasyonel sayılar ondalık gösterime dönüştürüldüğünde devirli sayıların aksine virgülden sonraki rakamlar kendini tekrarlamaz. Bir irrasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade edebilmek için virgülden sonra kullanmamız gereken basamak sayısı sonsuzdur.
• Rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilgili çözümlü örnekleri incelemek için buraya tıklayabilirsiniz.

GERÇEL (REEL, GERÇEK) SAYILAR

Rasyonel ve irrasyonel sayılarının birleşimi gerçel sayılar kümesini verir. Gerçel sayılar kümesi ℝ ile gösterilir.

ℝ = ℚ ∪ ℚ'

• 

  Sayı doğrusunda gösterdiğimiz tüm sayılar rasyoneldir.

• 

  Tüm doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar gerçeldir.

• 

  Sayı doğrusunda, 0'ın sağında kalan sayılara pozitif gerçel sayılar, solunda kalan sayılara ise negatif gerçel sayılar denir. Pozitif gerçel sayılar ℝ⁺ ve negatif gerçel sayılar ℝ^- ile gösterilir.

• Pozitif ve negatif gerçel sayılar ile 0'ın birleşimi gerçel sayılar kümesini verir.

  ℝ = ℝ⁺ ∪ {0} ∪ ℝ^-

KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR

... ve ... birer gerçel sayı ve ... olmak üzere ... şeklinde yazılabilen sayılara karmaşık sayı ismi verilir.

• Karmaşık sayılar kümesi ℂ ile gösterilir.

• ... için ... olur. Bu nedenle, tüm gerçel sayılar aynı zamanda karmaşıktır. Başka bir deyişle, karmaşık sayılar kümesi gerçel sayılar kümesini kapsar.

  ℝ ⊂ ℂ