TEK VE ÇİFT SAYILAR

ÇİFT SAYILAR

2'ye kalansız bölünebilen tam sayılara çift sayı denir. Çift sayıların birler basamağında 0, 2, 4, 6 ve 8 rakamlarından biri bulunur.

Yukarıdaki şartı sağlayan negatif sayılar da çifttir. Örneğin, -328, -64 ve -1000 sayıları çifttir.
Sıfır bir çift sayıdır.
En küçük pozitif çift sayı 2 ve en büyük negatif çift sayı -2'dir.
En büyük ve en küçük iki basamaklı çift sayılar sırasıyla 98 ve 10'dur.
En büyük ve en küçük üç basamaklı çift sayılar sırasıyla 998 ve 100'dür.

TEK SAYILAR

Çift olmayan tam sayılar tektir. Tek sayılar 2'ye kalansız bölünmez. Bu sayıların birler basamağında 1, 3, 5, 7 ve 9 rakamlarından biri bulunur.

En küçük pozitif tek sayı 1 ve en büyük negatif tek sayı -1'dir.
En büyük ve en küçük iki basamaklı tek sayılar sırasıyla 99 ve 11'dir.
En büyük ve en küçük üç basamaklı tek sayılar sırasıyla 101 ve 999'dur.

Örnek:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır. Bu rakamların birer kez kullanılmasıyla oluşturulabilen tüm üç basamaklı sayıların yarısı çift ve kalan yarısı tektir. Buna göre, a + b + c toplamının alabileceği en yüksek değer kaçtır?

a, b ve c rakamlarının tümü sıfırdan farklıysa, bu rakamlarla oluşturulabilecek üç basamaklı sayılar aşağıdaki gibidir.

bca, cba, acb, cab, abc ve bac

Yukarıdaki sayılardan ikisinin birler basamağında a, ikisinin birler basamağında b ve geriye kalan ikisinin birler basamağında c vardır. Dolayısıyla, rakamların sıfırdan farklı olduğu durumda sayılardan yarısının tek, yarısının çift olma olasılığı bulunmamaktadır.

a'nın 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda oluşturulabilecek üç basamaklı sayılar aşağıdaki gibidir.

bac, cab, bca ve cba

Birler basamağında 0 olan bca ve cba sayıları çifttir. Tüm sayıların yarısının tek, yarısının çift olabilmesi için geriye kalan bac ve cab sayılarının tek olması gerekir. Bu da bize b ve c rakamlarının tek olduğunu gösterir. Seçebileceğimiz en büyük tek rakamlar 7 ve 9'dur. Sonuç olarak, elde edebileceğimiz en büyük toplam 0 + 7 + 9 = 16'dır.

CEVAP: 16

TEK VE ÇİFT SAYILARIN TOPLAMI

Tek + Tek = Çift

Tek + Çift = Tek

Çift + Tek = Tek

Çift + Çift = Çift

İki tek ve iki çift sayının toplamı çifttir. Bir tek sayıyla bir çift sayının toplamı tektir.
İstediğimiz tek ve çift sayıları toplayarak yukarıdaki tabloyu hatırlayabiliriz. Örneğin, bir tek sayıyla bir çift sayının toplamının tek mi yoksa çift mi olduğunu öğrenmek için tek olduğunu bildiğimiz 1 ile çift olduğunu bildiğimiz 0'ı toplayabiliriz

1 + 0 = 1

Sonuç tek olduğu için bir tek sayıyla bir çift sayının toplamının tek olduğunu söyleyebiliriz. Aynı yöntemle çıkarma ve çarpma işlemlerinin tablolarına da ulaşabiliriz.
Kaç tane olursa olsun çift sayıların toplamı çifttir.
n bir tek sayı ise n tane tek sayının toplamı tektir. Örneğin, 273 + 635 + 7384 + 75 + 27 + 1 işleminde beş tane tek sayı toplanmaktadır. İşlem sonucunu hesaplamadan sonucun tek çıkacağını söyleyebiliriz.
m bir çift sayı ise, m tane tek sayının toplamı çifttir.

Örnek:

a, b ve c tam sayıları için a + b toplamı çift ve a + c toplamı tek ise aşağıdaki sayılardan hangisinin/hangilerinin kesinlikle tek veya çift olduğunu söyleyebiliriz?

b + c + 1
a + b + c
a + 2b + c
a

a + b toplamı bir çift sayıysa a ve b sayılarının ya her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir. Ayrıca, a + c işleminin sonucu tekse a ve c sayılarından biri tek diğeri çifttir. Aşağıdaki tablo a, b ve c'nin tek veya çift olma durumlarını özetlemektedir.

	a	b	c
Durum 1:	Çift	Çift	Tek
Durum 2:	Tek	Tek	Çift

İlk durumda a ve b'nin çift olduğu varsayılmıştır. a + c toplamının tek olabilmesi için bu durumda c'nin tek olması gerekir. İkinci durumda ise c bir çift sayıdır.

I) Her iki durumda da b + c toplamı tektir. Bu toplama 1 ekldeiğimizde sonuç çift olur. Bu nedenle b + c + 1 toplamı kesinlikle çifttir.

II) b ne olursa olsun 2b = b + b çifttir. a + c toplamının tek olduğu soruda verilmiştir. Bu nedenle, a + 2b + c = (a + c) + (2b) toplamı kesinlikle tektir.

III)

Çift + Çift + Tek = Tek

Tek + Tek + Çift = Çift

Oluşturduğumuz tablodaki ilk durumda a + b + c toplamı tek çıkarken ikinci durumda çift çıkmaktadır. Buna göre, soruda verilen bilgiler a + b + c toplamının tek mi çift mi olduğunu kesin olarak söyleyebilmemiz için yeterli değildir.

IV) a sayısı tek de çift de olabilir. Verilen bilgilerden a'nın hangisi olduğunu çıkaramayız.

Özetle, I ve II'nin tek mi çift mi olduğunu kesinlikle söyleyebiliriz.

CEVAP: I ve II

TEK VE ÇİFT SAYILARIN FARKI

Tek – Tek = Çift

Tek – Çift = Tek

Çift – Tek = Tek

Çift – Çift = Çift

Tek ve çift sayılar arasında yapılan çıkarma işlemi tablosu, toplama işleminin tablosu ile aynıdır.

Örnek:

Ali, Cemal'in; Burhan ise Davut'un babasıdır. Ali, Cemal'den x; Burhan, Davut'tan y yaş büyüktür. Hem Ali ile Burhan'ın hem de Cemal ile Davut'un yaşları arasındaki fark tek sayıdır. Ali'nin yaşını a, Burhan'ın yaşını b, Cemal'in yaşını c ve Davut'un yaşını d ile gösterirsek, aşağıdakilerden hangisi bir çift sayı olur?

A) a – x

B) a + b + c

C) x – y

D) d – x

Ali ile Burhan'ın yaşları arasındaki fark tek ise bu sayılardan biri tek diğeri çifttir. Aynı argüman Cemal ve Davut'un yşları için de geçerlidir. Buna göre, a, b, c ve d için dört farklı durumla karşılaşabiliriz. Bu durumlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Örneğin, ilk satırda gösterildiği gibi Ali'nin yaşı tek, Burhan'ın yaşı çift, Cemal'in yaşı tek ve Davut'un yaşı çift olabilir.

a :	b :	c :	d :
Tek	Çift	Tek	Çift
Tek	Çift	Çift	Tek
Çift	Tek	Tek	Çift
Çift	Tek	Çift	Tek

Her bir durum için x = a - c ve y = b - d'nin tek mi çift mi olduğunu hesaplayıp tabloya aşağıdaki gibi ekleyebiliriz.

a :	b :	c :	d :	x :	y :
Tek	Çift	Tek	Çift	Çift	Çift
Tek	Çift	Çift	Tek	Tek	Tek
Çift	Tek	Tek	Çift	Tek	Tek
Çift	Tek	Çift	Tek	Çift	Çift

C seçeneğinde verilen x - y ifadesi ya iki çift ya da iki tek sayının farkına eşittir ve kesinlikle çifttir. Diğer ifadeler çift olmak zorunda değildir.

CEVAP: C

TEK VE ÇİFT SAYILARIN ÇARPIMI

Tek × Tek = Tek

Tek × Çift = Çift

Çift × Tek = Çift

Çift × Çift = Çift

Bir grup tam sayı çarpıldığında sonuç tek sayıysa, çarpılan sayıların tümü tektir. Çarpılan sayılardan en az birinin çift olması sonucu çift yapar.

Örnek:

a, b ve c tam sayılar olmak üzere, a · (b - c) · (a - c) bir tek sayıysa, aşağıdakilerden hangisi tektir?

A) a · b · c

B) a · (b + 1) · (c + 1)

C) a · b · (c - 1)

D) a + b + c

E) (a + c) · (a + b)

a · (b - c) · (a - c)'nin tek olabilmesi için hem a hem b - c hem de a - c'nin tek olması gerekir. a tekse, a - c'yi tek yapan c değeri çifttir. b - c'yi tek yapan b sayısı ise tek olmalıdır. Özetle, a ve b sayıları tek, c sayısı ise çifttir. Buna göre, sadece C seçeneğinde verilen ifade bir tek sayıdır.

CEVAP: C

TEK VE ÇİFT SAYILARIN KUVVETLERİ

(Çift)ⁿ = Çift, n ϵ ℤ

(Tek)ⁿ = Tek, n ϵ ℤ

Çift sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri çift ve tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tektir.

Örnek:

I) n^a · (a - 1)

II) aⁿ · a^{n + 1}

III) aⁿ · n^a - a · n + a

IV) (a - n) · (a + n)ⁿ

a ve n pozitif tam sayılar olmak üzere aⁿ · (n - 1) sayısı tekse yukarıdakilerden kaçı tek sayıdır?

aⁿ · (n - 1) tekse hem aⁿ hem de n - 1 tektir. aⁿ'nin tek olabilmesi için a'nın da tek olması gerekir. n - 1'in tek olması ise n'nin çift olduğu anlamına gelir. Tek sayıları T ve çift sayıları Ç ile gösterip aşağıdaki adımları izleyerek verilen ifadelerin tek veya çift olduğunu anlayabiliriz.

I) Ç^T · (T - 1) = Ç · Ç = Ç

II) T^Ç · T^{Ç + 1} = T · T = T

III) T^Ç · Ç^T - T · Ç + T = T · Ç - T · Ç + T = Ç - Ç + T = Ç + T = T

IV) (T - Ç) · (T + Ç)^Ç = T · T^Ç = T · T = T

Sonuç olarak verilen ifadelerden üçünün değeri tek sayıdır.

CEVAP: 3

TEK VE ÇİFT SAYILAR ARASINDA BÖLME

Tek ÷ Tek = Tek

Çift ÷ Tek = Çift

Çift ÷ Çift = ?

Tek sayılar çift sayılara tam bölünmez.
Eğer tam bölünebiliyorsa, tek bir sayının tek bir sayıya bölümü tek, çift bir sayının tek bir sayıya bölümü ise çift olur.
Ek bir bilgi verilmediği taktirde, çift sayıların çift sayılara bölümü hakkında kesin bir yargıya varamayız. 6 ÷ 2 = 3 ve 4 ÷ 2 = 2 örneklerinde olduğu gibi çift sayıların çift sayılara bölümü tek de olabilir, çift de.

TYT ve AYT Sınavlarında Tek ve Çift Sayılar:

Geçmiş yıllara ait TYT sorularını incelediğimizde yılda ortalama 1,29 sorunun tek ve çift sayılar arasında yapılan işlem sonucuyla ilgili olduğunu görüyoruz.

AYT sınavlarında ise tek ve çift sayılarla ilgili soru sayısının 0,43'e düştüğünü ve bu soruların çoğunlukla mantık ve kümeler gibi daha sonra öğreneceğimiz konularla ilgili olduğunu söyleyebiliriz.

Tek ve çift sayılarla ilgili TYT ve AYT soruları:

TYT 2018 : Soru 9; TYT 2019 : Soru 7; TYT 2020 : Soru 7 ve 30; TYT 2021 : Soru 7; TYT 2022 : Soru 7 ve 15; TYT 2023 : Soru 7; TYT 2024 : Soru 7

AYT 2019 : Soru 5; AYT 2021 : Soru 8 ve 14

Not: Yukarıdaki soru numaraları, ÖSYM'nin web sitesinde yayımlanan resmi sınav kitapçıkları temel alınarak verilmiştir.

KONULAR