Ardışık
Sayılar
Kesirli
İşlemler

TYT MATEMATİK KONU ANLATIMI

KONU: ÇARPANLAR VE KATLAR

ÇARPANLAR VE KATLAR

ÇARPANLAR

24'ün çarpanları

Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılar, o sayının çarpanları (veya bölenleri) olarak adlandırılır. Örneğin, 24'ü tam bölen doğal sayılar 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Bu sayılar 24'ün çarpanlarıdır.

ÇARPANLARIN GENEL ÖZELLİKLERİ

  • 1'den büyük tüm doğal sayıların en az iki çarpanı vardır: 1 ve sayının kendisi.
  • Bir doğal sayının en büyük çarpanı kendisi ve en küçük çarpanı 1'dir. En büyük ikinci çarpanı ise, bu sayının en fazla yarısı kadar olabilir.
  • 2 sayısı, tüm çift sayıların çarpanıdır.
  • Tek sayıların tüm çarpanları tektir.
  • b sayısı a'nın çarpanlarından biriyse, b'nin tüm çarpanları a'nın da çarpanıdır. Örneğin, 6 sayısı 24'ün çarpanlarından biridir. 6'nın çarpanları olan 1, 2, 3 ve 6 aynı zamanda 24'ün de çarpanları arasındadır.
  • b sayısı a'nın çarpanıysa a'nın çarpanlarından bir diğeri de a ÷ b'dir. Örneğin, 2 sayısı 18'in çarpanıdır. 18 ÷ 2 = 9 da çarpanlardan biridir.
  • 0'dan büyük tam kare doğal sayıların tek sayıda ve tam kare olmayan doğal sayıların çift sayıda çarpanı vardır. Örneğin, 25'in üç tane ve 26'nın dört tane çarpanı vardır.

Örnek:

n tane özdeş kitap, her rafına 40 kitap sığan 4 raflı bir kitaplığa yerleştirilecektir. Kitapların tamamı tek bir rafa yerleştirilebildiği gibi 2, 3 veya 4 rafa eşit şekilde de dağıtılabilmektedir. Buna göre, n'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Tek bir rafa sığdığına göre kitapların toplam sayısı 40 veya daha azdır.

Kitaplar 2, 3 veya 4 rafa eşit olarak paylaştırılabiliyorsa, kitap sayısının 2'ye, 3'e ve 4'e tam bölünmesi gerekir. Çarpanlarından bazıları 2, 3 ve 4 olan en küçük doğal sayı 12'dir. Buna göre, kitap sayısı 12'nin tam katıdır. 12'nin 40'tan büyük olmayan tam katları 12, 24 ve 36'dır. Bu sayıların toplamı 72'dir.

12 + 24 + 36 = 72

CEVAP: 72

ASAL SAYILAR

Yalnız 1'e ve kendine tam bölünebilen 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

TYT ve AYT sınavlarında hız kazanabilmek için 100'den küçük asal sayıları bilmeniz faydalı olacaktır.

100'den küçük asal sayılar : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97.

ASAL SAYILARIN GENEL ÖZELLİKLERİ

  • Asal sayıların yalnız iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi.
  • En küçük asal sayı 2'dir.
  • 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir.

Örnek:

q, r ve s birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere 7 · q + r · s işleminin sonucu 100'den küçük bir asal sayı olduğuna göre q'nun alabileceği en büyük değer kaçtır?

100'den küçük en büyük doğal sayı 97'dir. Verilen ifadeyi 97'ye eşitleyip, q, r ve s için asal değerler arayalım.

7 · q + r · s = 97

Eşitliğin sağında bir tek sayı olduğu için soldaki çarpımlardan biri tek, diğeri çifttir. 7 · q veya r · s çiftse, q, r ve s asal sayılarından biri kesinlikle 2'dir. En yüksek q değerini aradığımız için r veya s sayılarından birinin 2 olduğunu varsayarak devam edelim.

7 · q + 2 · s = 97

q'nun en büyük değeri için s'nin alabileceği en düşük değerleri deneyerek başlamamız mantıklı olacaktır.

7 · q + 2 · 3 = 97

⇒ 7 · q = 91

⇒ q = 13

s = 3 için q = 13 olduğunu görüyoruz. r ve s için olası en düşük asal sayıları seçtiğimizden, ifadeyi 97'den küçük bir sayıya eşitlememiz, q için daha yüksek bir değer vermeyecektir. Dolayısıyla q'nun alabileceği en yüksek değer 13'tür.

CEVAP: 13

ASAL ÇARPANLAR

Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlara asal çarpan ismi verilir. Örneğin, 24'ün çarpanlarından 2 ve 3 asaldır. Bu nedenle, 24'ün asal çarpanları 2 ve 3'tür.

  • Doğal sayılardan her birinin çarpan listesi birbirinden farklı olduğu halde asal çarpanları aynı olabilir. Örneğin, 12, 18 ve 24 sayılarının asal çarpanları aynıdır.
  • Bir sayının asal çarpanları, karesinin ve küpünün asal çarpanları ile aynıdır.

Örnek:

Asal çarpanları 2 ve 3 olan 100'den küçük kaç doğal sayı vardır?

Asal çarpanları 2 ve 3 olan 100'den küçük doğal sayılar 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54, 72 ve 96'dır. Bu şartları sağlayan toplam 9 sayı vardır.

CEVAP: 9

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için bu sayıyı asal çarpanlarının çarpımı cinsinden yazarız. Örneğin, 24'ü asal çarpanlarına 24 = 2 · 2 · 2 · 3 şeklinde ayırabiliriz.

Doğal sayıları asal çarpanlarına ayırırken sıklıkla tekrarlı çarpımlarla karşılaşırız. Bu nedenle, çarpanlara ayırmada üslü ifadeleri tercih ederiz. Örneğin, 24'ün asal çarpanlarına ayrılmış halini 24 = 23 · 3 şeklinde gösteririz.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için bölen listesi veya çarpan ağacı oluşturabiliriz.

BÖLEN LİSTESİ YÖNTEMİ

Asal çarpanlara ayırma-Bölen Listesi

Bölen listesi yönteminde, sol tarafa asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı yazar, araya dikey bir çizgi çekeriz. Sağ tarafa ise bu sayıyı tam bölen asal sayıları sıralarız. Soldaki sayıyı sağa yazdığımız her asal sayıya böleriz. İşlem tamamlandığında, sağdaki asal sayıların çarpımı, başlangıçtaki sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini oluşturur.

ÇARPAN AĞACI YÖNTEMİ

Asal çarpanlara ayırma-Çarpan Ağacı

Çarpan ağacı yönteminde ise, çarpanlarına ayıracağımız sayıyı en üste yazarız. Çarpımları bu sayıya eşit olan 1'den büyük iki doğal sayı bulur, üstten iki ok çıkarır, bu okların altına bulduğumuz çarpanları yazarız. Asal sayılar elde edene kadar alttaki sayıları bu şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazmaya devam ederiz. İşlem bittiğinde, elde edilen tüm asal sayıların çarpımı en üstteki sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini verir.

ÇARPAN SAYISI

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp üslü biçimde yazdığımızda, üslerin bir fazlasının çarpımı, bu sayının kaç tane çarpanı olduğunu verir. Örneğin, 24 = 23 · 31 olduğundan 24'ün (3 + 1)(1 + 1) = 8 çarpanı vardır.

Örnek:

Zeynep bir torbaya attığı ve renkleri dışında özdeş olan sarı, turuncu ve kırmızı toplardan çekerek aşağıdaki kurallara göre sayılar oluşturmuştur.

KURALLAR: Her seferinde 1 sayısıyla başlanır. Torbadan çekilen top sarıysa, sayı 2 ile; turuncuysa 6 ile; kırmızıysa 5 ile çarpılır. Çekilen top sarı veya turuncu ise, top tekrar torbaya atılır ve çekme ile çarpma işlemlerine devam edilir. Ancak, top kırmızıysa çarpma işleminden sonra top çekme işlemi sona erer. İşlem tamamlandığında elde edilen sayı bir kağıda not edilir. Yeni bir sayı oluşturmak için tekrar 1 sayısıyla başlayarak aynı işlemler tekrarlanır.

Aşağıdakilerden hangisi Zeynep'in not ettiği sayılardan biri olamaz?

A) 120
B) 180
C) 540
D) 620
E) 1920

Kırmızı top çıktığında elindeki sayıyı 5'le çarpıp işlemi sonlandırdığı için not ettiği bir sayının asal çarpanlarından biri kesinlikle 5 olmalıdır. Ayrıca, bu sayı asal çarpanlarına ayrıldığında 5'in kuvveti 1 olmalıdır.

Sarı top çıktığında sayıyı 2'yle ve turuncu top çıktığında sayıyı 6'yla (veya hem 2 hem de 3'le) çarpmaktadır. Bu iki toptan hangisi çıkarsa çıksın sayıyı kesinlikle 2'yle çarptığından bu sayı asal çarpanlarına ayrıldığında 2'nin kuvveti 3'ün kuvvetine eşit veya daha fazla olmalıdır.

Verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

A) 120 = 23 · 3 · 5

B) 180 = 22 · 32 · 5

C) 540 = 22 · 33 · 5

D) 640 = 27 · 5

E) 1920 = 27 · 3 · 5

540'ın asal çarpanlarına ayrılmış halinde 3'ün kuvveti daha yüksek olduğundan bu sayı Zeynep'in not ettiği sayılar arasında olamaz.

CEVAP: C

ARALARINDA ASAL SAYILAR

1 dışında ortak böleni olmayan iki sayı aralarında asaldır.

  • Asal olmayan sayılar da aralarında asal olmayabilir. Örneğin, 12 ve 25 sayıları asal olmadıkları halde aralarında asaldır.
  • Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1'e eşittir.
  • Aralarında asal iki sayının EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir.
  • 0'dan büyük tüm diğer sayılar 1'le aralarında asaldır.
  • Payı ve paydası aralarında asal olan basit ve bileşik kesirler en sade halindedir ve daha fazla sadeleştirilemez.

Örnek:

1'den 100'e kadar olan doğal sayılardan kaçı 10 ile aralarında asaldır?

10'un asal çarpanları 2 ve 5'tir. 1'den 100'e kadar olan doğal sayılardan 2'ye de 5'e de bölünmeyenler 10'la aralarında asaldır.

1'den 100'e kadar olan doğal sayılardan

  • 50'si 2'ye,
  • 20'si 5'e ve
  • 10'u 10'a

tam bölünür. Buna göre, 2'ye veya 5'e bölünen toplam 50 + 20 - 10 = 60 sayı vardır. Geriye kalan 100 - 60 = 40 sayı, 10 ile aralarında asaldır.

CEVAP: 9

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki veya daha fazla sayının bölen listelerindeki ortak olan sayılara ortak bölen denir. Ortak bölenlerin en büyüğü ise EBOB'u verir.

Örnek:

24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24

18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

24 ve 18 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Bu bölenlerden en büyüğü 6 olduğundan 24 ve 18 sayılarının EBOB'u 6'dır.

EBOB(24, 18) = 6

EBOB'u hesaplamak için sayıların tüm çarpanlarını listelemek uzun sürecektir. EBOB'u daha kolay bir şekilde aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.

EBOB örneği

Öncelikle dikey bir çizgi çeker ve verilen sayıları çizginin soluna yazarız. Sol tarafa yazdığımız sayıların tümünü tam bölen asal sayıları sağ tarafa ekleyerek, her seferinde soldaki sayıları bu asal sayıya bölmeye devam ederiz. Soldaki sayılar arasında ortak çarpan kalmayana kadar bu işlemi sürdürürüz. İşlem tamamlandığında, sağ taraftaki asal sayıları çarparak sonuca ulaşırız.

EBOB'UN GENEL ÖZELLİKLERİ

    EBOB(A, A · B) = A

  • Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayının EBOB'u bu sayılardan küçük olana eşittir.

    • EBOB(A, A) = A

  • Bir pozitif tam sayının kendisiyle olan EBOB'u, sayının kendisine eşittir.

    • EBOB(1, A) = 1

  • Bir pozitif tam sayının 1'le EBOB'u, 1'e eşittir.

  • Bir grup pozitif tam sayının EBOB'u, bu sayıların en küçüğüne eşit veya ondan daha küçük olabilir. EBOB en fazla en küçük sayı kadar olabilir.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki veya daha fazla sayının tam katlarından aynı olanlara ortak kat ismi verilir. Ortak katlardan en küçüğü bize bu sayıların EKOK'unu verir.

Örnek:

6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...

6 ve 8'in ortak katları: 24, 48, 72

Ortak katlardan en küçüğü 24 olduğundan 6 ile 8'in EKOK'u 24'tür.

EKOK(6, 8) = 24

EKOK örneği

EBOB için kullandığımız liste yöntemini EKOK hesaplarken de kullanabiliriz. Yalnız, EKOK hesaplarken sadece sağ taraftaki sayıları değil aynı zamanda sol tarafta en alt satırda kalan sayıları da çarparız.

EKOK'UN GENEL ÖZELLİKLERİ

    EKOK(A, A · B) = A · B

  • Bir pozitif tam sayıyla onun tam katının EKOK'u, bu tam katın kendisine eşittir.

    • EKOK(A, A) = A

  • Bir pozitif tam sayının kendisi ile EKOK'u sayının kendisine eşittir.

    • EBOB(A, B) · EKOK(A, B) = A · B

  • İki pozitif tam sayının EBOB'uyla EKOK'unun çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir. Ortak böleni olan üç veya daha fazla sayı için bu eşitlik sağlamaz.

    • EKOK(1, A) = A

  • Bir pozitif tam sayının 1'le EKOK'u, bu sayıya eşittir.

  • EKOK, EBOB'un tam katıdır.

  • Bir grup pozitif tam sayının EKOK'u en büyük sayıya eşit veya daha büyüktür.

Örnek:

100'den küçük A ve B sayılarının en küçük ortak katı 100 ise, bu sayıların toplamı en az kaç olabilir?

Hem A hem de B sayısı, 100'un 100'den küçük çarpanları arasındadır. Bu çarpanlar aşağıda listelenmiştir.

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50

Bu çarpanlar arasında EKOK'u 100 olan çiftler

  • 4 ve 25;
  • 4 ve 50;
  • 20 ve 25; ve
  • 20 ve 50'dir.

Buna göre en düşük toplam 4 + 25 = 29'dur.

CEVAP: 29

 

TYT ve AYT Sınavlarında Çarpanlar ve Katlar:

Geçmiş yıllarda TYT sınavlarında bu konuyla ilgili ortalama her 3 sınavda 1 soru sorulduğunu görüyoruz. Bu sorularun tümünün çarpanlarla ilgili olduğunu anlıyoruz.

Her ne kadar TYT sınavlarındaki ortalama soru sayısı düşük olsa da AYT matematik sınavlarında çarpanlar ve katlarla ilgili soru sayısının yılda ortalama 1,43 soruya çıktığını görüyoruz. Bu sorulardan büyük çoğunluğunun asal sayılarla ilgili olduğunu gözlemliyoruz.

 

Çarpanlar ve Katlarla ilgili TYT ve AYT soruları:

TYT 2020 : Soru 25; TYT 2023 : Soru 4

AYT 2018 : Soru 2; AYT 2020 : Soru 2; AYT 2021 : Soru 2, 4 ve 8; AYT 2022 : Soru 3 ve 4; AYT 2023 : Soru 4 ve 8; AYT 2024 : Soru 4

Not: Yukarıdaki soru numaraları, ÖSYM'nin web sitesinde yayımlanan resmi sınav kitapçıkları temel alınarak verilmiştir.

 

KONULAR

TYT-AYT konu anlatımı

ÖNCEKİ KONU

ARDIŞIK SAYILAR

SONRAKİ KONU

KESİRLİ İŞLEMLER

İLGİLİ BAĞLANTILAR