RAKAMLAR

Sayıları göstermek için kullandığımız sembollere rakam denir.

Günlük hayatta kullandığımız sayı sistemi onluk sayı sistemidir. Onluk sayı sisteminde 10 rakam kullanılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9.

R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Bir soruda 'a ve b birer rakam olmak üzere' ifadesi kullanıldığında, a ve b'nin 0 dahil tek basamaklı sayılar olması gerektiği anlaşılmalıdır.

Örnek:

a ve b birbirinden farklı rakamlar olmak üzere

a · b = 0,
b + c = 10 ve
a + c = 8

ise a + b · c işleminin sonucu kaçtır?

a · b = 0 ise a ve b rakamlarından en az biri 0'dır. b = 0 olsaydı, b + c = 10 eşitliğinden dolayı c = 10 olurdu. Yalnız bu bir rakam olmadığından b'nin 0'a eşit olamayacağı sonucunu çıkarabiliriz. Dolayısıyla, 0 olan rakam a'dır.

a = 0

Bu değeri üçüncü eşitlikte yerine yazdığımızda c'nin 8 olduğunu görebiliriz.

0 + c = 8 ⇒ c = 8

İkinci eşitlikte c'nin değerini yerine yazarak, b'nin 2 olduğunu anlayabiliriz.

b + 8 = 10 ⇒ b = 2

Buna göre, a + b · c işleminin sonucu 16'dır.

a + b · c = 0 + 2 · 8 = 16

CEVAP: 16

BASAMAKLAR

Doğal sayılar rakamlardan oluşur. Bir doğal sayının değeri, sayıyı oluşturan rakamların basamak değerlerinin toplamına eşittir. Bir rakamın basamak değeri ise rakamın değerine ve bulunduğu basamağa bağlıdır.

Örnek:

2357 sayısında

7'nin basamak değeri 7 × 1 = 7'ye,
5'in basamak değeri 5 × 10 = 50'ye,
3'ün basamak değeri 3 × 100 = 300'e ve
2'nin basamak değeri 2 × 1000 = 2000'e

eşittir. 2357 sayısının değeri yukarıdaki basamak değerlerinin toplamıdır.

2357 = 2000 + 300 + 50 + 7

= 2 × 1000 + 3 × 100 + 5 × 10 + 7 × 1

Bir sayıyı yukarıdaki gibi basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya çözümleme ismi verilir.
TYT ve AYT’deki bazı soruları çözebilmek için verilen sayıları çözümlemek gerekebilir. Bu tür sorularda çoğunlukla sayılar, A, B ve C gibi harflerle ifade edilir. Harflerle gösterilen bir sayıyı çözümlediğimizde, sayıyı cebirsel bir ifade olarak yazmış oluruz.

Örnekler:

AB = 10A + B

ABC = 100A + 10B + C

AA = 11A

AAA = 111A

AB + BA = 11(A + B)

AB - BA = 9(A - B)

Harflerin alabileceği değerleri bulabilmek için bu harflerin birer rakam olduğunu (0 ile 9 arasında doğal sayılar olduğunu) hatırlamamız gerekir. Ayrıca, bir sayının kaç basamaklı olduğu belirtilmişse, en yüksek basamağı gösteren harfin 0 olamayacağını da göz önünde bulundurmalıyız.

Örnek:

İki basamaklı AB sayısı ile yine iki basamaklı bir sayı olan BA'dan 63 fazlaysa, A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

AB ve BA arasındaki farkı A ve B cinsinden bulalım.

AB - BA = (10A + B) - (10B + A)

= 9A - 9B

= 9(A - B)

Bu ifadeyi 63'e eşitleyelim.

9(A - B) = 63

⇒ A - B = 7

Aralarında 7 fark olan rakam adayları aşağıda listelenmiştir.

A = 9 ve B = 2
A = 8 ve B = 1
A = 7 ve B = 0

Yalnız, BA'nın 2 basamaklı bir sayı olabilmesi için B'nin 0'dan büyük olması gerekir. Dolayısıyla, A rakamı 7 olamaz. A'nın alabileceği değerler 8 ve 9 olduğu için sorunun cevabı 8 + 9 = 17'dir.

CEVAP: 17

Her soruda çözümleme yapmamız gerekmez.

Örnek:

AA1 ve BB2, üç basamaklı doğal sayılar olmak üzere, yukarıdaki işlemin sonucu, rakamlarından biri 0 olan üç basamaklı bir doğal sayı ise, B'nin alabileceği en büyük değer ile A'nın alabileceği en küçük değerin çarpımı kaçtır?

Çıkanın birler basamağı eksileninkinden büyük olduğu için bu basamakta yapılan çıkarma işleminde onlar basamağından ödünç alırız. Birler basamağındaki çıkarma işleminin sonucu 11 - 2 = 9'dur. Bu durumda eksilenin onlar basamağında A - 1 kalır.

Farkın üç basamaklı olması için yüzler basamağındaki sonucun 0'dan farklı olması gerekir. Buna göre, çıkarma işlemi sonucunda elde edilen sayının 0 olan rakamı onlar basamağındadır. Bu da A - 1 ve B sayılarının eşit olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, A rakamı B'den 1 fazla olmalıdır.

BB2 sayısı 3 basamaklı ise B'nin alabileceği en küçük değer 1'dir. B = 1 için A'nın değeri B + 1 = 2 olur.

A'nın alabileceği en yüksek değer 9 olduğundan B'nin alabileceği en yüksek değer 9 - 1 = 8'dir.

Soruda istenen çarpım sonucu 2 × 8 = 16 çıkar.

CEVAP: 16

Örnek:

ABC üç basamaklı, AB iki basamaklı ve A tek basamaklı bir sayı olduğuna göre, A + B − C işleminin sonucu kaçtır?

ABC + AB + A = (100A + 10B + C) + (10A + B) + A

= 111A + 11B + C

389'un içinde 3 tane 111 vardır. Dolayısıyla, A = 3'tür. Geriye kalan 56 ise 11B + C toplamına eşittir.

56'nın içinde 5 tane 11 vardır. Buna göre B = 5'tir. Geriye kalan 1 ise C'ye eşittir.

Yukarıda bulduğumuz değerleri A + B - C işleminde yerine yazarak sonucun 7 olduğunu anlayabiliriz.

3 + 5 - 1 = 7

CEVAP: 7

BASAMAKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

En küçük iki basamaklı doğal sayı 10'dur.
En küçük üç basamaklı doağl sayı 100'dür.
En küçük n basamaklı doğal sayının en yüksek basamağı 1 ve sonraki n - 1 basamağı 0'dır.
En büyük iki basamaklı doğal sayı 99'dur.
En büyük üç basamaklı doğal sayı 999'dur.
En büyük n basamaklı doğal sayıda yan yana n tane 9 vardır.
En küçük iki basamaklı tek doğal sayı 11'dir.
En büyük iki basamaklı çift doğal sayı 98'dir.
En büyük iki basamaklı asal sayı 97'dir.
En küçük üç basamaklı asal sayı 101'dir.

TYT ve AYT Sınavlarında Rakamlar ve Basamaklar:

Geçmiş yıllarda çıkan TYT sınavlarını incelediğimizde her yıl ortalama 3,57 sorunun basamak ve rakam kavramlarıyla ilişkilendirildiğini görüyoruz. Bu soruların yaklaşık %36'sının çözümünde temel işlem bilgisi yeterli olduğu halde, %40'ının çözümü için bölünebilme ve ardışık sayılar gibi temel kavramlar hakkında bilgi sahibi olmamız gerekmektedir. Geriye kalan %24'lük kısmın çözümü de mutlak değer ve üslü sayılar gibi ileride göreceğimiz konularla ilintilidir.

AYT sınavlarında ise basamak ve rakamlarla ilgili çıkan soru sayısının ortalama 2,42'ye düştüğünü ve bu soruların ancak %29'unun temel işlemler ve kavramlarla çözülebileceğini görüyoruz.

Rakam ve basamaklarla ilgili temel işlem bilgisinin yeterli olduğu TYT ve AYT soruları:

TYT 2018 : Soru 23 ve 27; TYT 2019 : Soru 12; TYT 2020 : Soru 11; TYT 2021 : Soru 20 ve 23; TYT 2023 : Soru 13 ve 15; TYT 2024 : Soru 13

AYT 2019 : Soru 5; AYT 2020 : Soru 7

Temel kavramlarla çözülebilecek rakam ve basamak soruları:

TYT 2018 : Soru 12; TYT 2019 : Soru 11; TYT 2020 : Soru 10; TYT 2021 : Soru 15; TYT 2022 : Soru 13, 14 ve 15; TYT 2023 : Soru 14 ve 24; TYT 2024 : Soru 14

AYT 2019 : Soru 3; AYT 2023 : Soru 7 ve 8

İleriki konuları bilmeyi gerektiren rakam ve basamak soruları:

TYT 2018 : Soru 6; TYT 2019 : Soru 5; TYT 2020 : Soru 12; TYT 2021 : Soru 17; TYT 2024 : Soru 6

AYT 2019 : Soru 18; AYT 2020 : Soru 12; AYT 2021 : Soru 8, 11, 13 ve 14; AYT 2022 : Soru 4 ve 8; AYT 2023 : Soru 2 ve 10; AYT 2024 : Soru 1 ve 3

Not: Yukarıdaki soru numaraları, ÖSYM'nin web sitesinde yayımlanan resmi sınav kitapçıkları temel alınarak verilmiştir.

KONULAR