GENEL BİLGİLER

Sıfır ne pozitif ne de negatiftir.
Sıfır dışındaki tüm doğal sayılar pozitiftir.
Sayı doğrusunda negatif gerçel sayılar 0’ın solunda, pozitif gerçel sayılar ise 0’ın sağında yer alır.
En küçük pozitif tam sayı 1 ve en büyük negatif tam sayı -1'dir.

POZİTİF VE NEGATİF SAYILARIN ÇARPIMI

(+) · (+) = (+)

(+) · (–) = (–)

(–) · (+) = (–)

(–) · (–) = (+)

Sıfırdan farklı iki gerçel sayı çarpıldığında, sonucun işareti çarpılan sayıların işaretine bağlıdır. Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif ve farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.

Örnek:

a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere

a² · b < 0,
b · c > 0 ve
a · c² < 0

ise a · b · c işleminin işareti nedir?

a sayısının işareti ne olursa olsun a² pozitif bir sayıdır. Çünkü a² ifadesi a'nın kendisi ile çarpımını gösterir ve işareti aynı olan sayıların çarpımı pozitiftir. Dolayısıyla, a² · b ifadesi pozitif bir sayıyla b'nin çarpımıdır. Bu çarpımın negatif çıkabilmesi için b'nin negatif olması gerekir.

b < 0

b · c çarpımının pozitif çıkabilmesi için c'nin de negatif olması gerekir.

c < 0

Son eşitsizlikteki c² pozitiftir. Bu sayının a ile çarpımı negatif olduğundan a sayısı da negatiftir.

a < 0

Özetle, a, b ve c sayılarının tümü negatiftir. Bu nedenle, a · b çarpımı pozitif çıkar. Bu sayıyı c ile çarptığımızda negatif bir sayı ile karşılaşırız.

a · b · c < 0

CEVAP: Eksi

POZİTİF VE NEGATİF SAYILARLA BÖLME

(+) / (+) = (+)

(+) / (–) = (–)

(–) / (+) = (–)

(–) / (–) = (+)

Sıfırdan farklı sayılar arasında yapılan bölme işleminde sonucun işareti çarpma işleminin sonucu ile aynıdır. Aynı işaretli sayıların bölümü pozitif ve farklı işaretli sayıların bölümü negatiftir.

Örnek:

a pozitif bir tam sayı olmak üzere

A = {-4, -2, -1, 2, a}

kümesinden seçilen bir sayı yine bu kümeden seçilen başka bir sayıya bölünecektir. Bölme işlemi sonucunda elde edilebilecek en küçük ve en büyük sayıların çarpımı -50'ye eşitse a'nın değeri kaçtır?

a sayısı pozitif olduğundan değeri 1, 3, 4 veya daha büyük olabilir. 1, 3 veya 4 değerleri için en büyük ve en küçük bölümlerin çarpımı -50 çıkmaz.

4'ten büyük değerler için

en küçük bölme sonucu a ÷ (-1) = -a'ya
en büyük bölme sonucu (-4) ÷ (-1) = 4 ile a ÷ 2 = ... sayılarından büyük olana eşittir.

-50 sayısı 4'e tam bölünmediğinden en büyük bölme sonucunun ... olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre en küçük ve en büyük bölümlerin çarpımı

...'dir.

Bu sayıyı -50'ye eşitleyerek a'nın 10 olduğunu görebiliriz.

...

⇒ ...

CEVAP: 10

POZİTİF VE NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif ve tek kuvvetleri negatiftir.
a, 0'dan farklı bir gerçel sayı ise aⁿ ile a^-n'nin işaretleri aynıdır.

Örnek:

a gerçel bir sayı ve n iki basamaklı pozitif bir tam sayı olmak üzere,

... < 0 ve
... < 0

ise n'nin alabileceği en büyük değerin rakamları toplamı kaçtır?

a gerçel sayısının bir kuvveti sıfırdan küçükse, a negatif ve n - 3 tektir. n - 3 tekse, n bir çift sayı ve n + 1 bir tek sayıdır. Buna göre ikinci ifadedeki ... terimi negatiftir. İkinci çarpım sonucunun negatif çıkabilmesi için ...'nin pozitif olması yani ...'nin çift olması gerekir. ... bir çift sayıysa, ... sayısı 4'e kalansız bölünür. 4'e kalansız bölünen en büyük iki basamaklı sayı 96 olduğundan istenen toplam 9 + 6 = 15'tir.

CEVAP: 15

POZİTİF VE NEGATİF SAYILARLA TOPLAMA

(+) + (+) = (+)

(–) + (–) = (–)

İki pozitif sayının toplamı pozitif ve iki negatif sayının toplamı negatiftir.

(+) + (–) = ?

(–) + (+) = ?

Bir pozitif ve bir negatif sayının toplamının işareti, toplanan sayılardan mutlak değeri daha büyük olanla (sayı doğrusunda 0'dan uzak olan sayıyla) aynı çıkar. Mutlak değerlerin eşit olduğu durumda ise sonuç 0'a eşit olur.

x + y = 0

Sıfırdan farklı iki sayının toplamı sıfırsa, bu sayılardan biri pozitif diğeri negatiftir.

POZİTİF VE NEGATİF SAYILARLA ÇIKARMA

(+) – (–) = (+)

(–) – (+) = (–)

Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonuç pozitif ve negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonuç negatiftir.

(+) – (+) = ?

(–) – (–) = ?

Pozitif sayılar arasında yapılan çıkarma işleminde sonucun işareti, eksilenin mi yoksa çıkanın mı daha büyük olduğuna bağlıdır. Büyük bir sayıdan küçük bir sayı çıkarıldığında sonuç pozitif ve küçük bir sayıdan büyük bir sayı çıkarıldığında sonuç negatif çıkar. Negatif sayılar arasında yapılan çıkarma işleminde de aynı kural geçerlidir.

SAYI DOĞRUSUNDA POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR

Bir sayı -1'den küçük bir sayı ile çarpıldığında sonuç 0'ın diğer tarafında ve 0'a daha uzak bir noktada çıkar.
Bir sayı -1 ile 0 arasında bir sayı ile çarpıldığında sonuç 0'ın diğer tarafında ve 0'a daha yakın bir noktada çıkar.
Bir sayı 0 ile 1 arasında bir sayı ile çarpıldığında sonuç 0'ın aynı tarafında ve 0'a daha yakın çıkar.
Bir sayı 1'den büyük bir sayı ile çarpıldığında sonuç 0'ın aynı tarafında ve 0'a daha uzak bir noktasında çıkar.

Örnek:

Yukarıdaki sayı doğrusunda ... ve ... noktalarının 0'a uzaklıkları eşittir. ...'nın 0'a uzaklığı ise ... ve ... noktalarının 0'a uzaklıklarının toplamına eşittir. Bu noktaların gösterdiği sayılardan ikisi çarpılıp sayı doğrusunda gösterilen üçüncü bir sayıya bölünecektir. Bu şekilde elde edilebilen en büyük sayı aşağıdaki ifadelerden hangisinden/hangilerinden daha büyüktür?

I) ...

II) ...

III) ...

I) Sayıların işaretlerini göz ardı ettiğimizde en büyük çarpım sonucunu ... verir. Yalnız bu çarpım negatiftir. Sonucu pozitif yapabilmek için böleceğimiz sayının negatif olması gerekir. Geriye kalan tek negatif sayı ...'dir. Dolayısıyla, en büyük sonucu veren işlem ...'dir.

...

... sayısı -1 ile 0 arasındadır. Bu nedenle ... sayısı ...'dan ve dolayısıyla ...'den büyüktür.

... > ...

Özetle, en büyük işlem sonucu ...'den büyüktür.

II) ... ve ...'nin 0'a uzaklıkları aynı olduğu için ... ifadesinde ... yerine ... yazalım.

...

Bu işlemde ... sayısı ...'den büyüktür.

... > ...

Dolayısıyla, ... ifadesi elde edilebilecek en büyük işlem sonucundan daha büyük bir sayı verir.

III) ... sayısı 0 ile 1 arasında olduğundan ... çarpımı ... çarpımından küçüktür.

... < ...

Ayrıca, ... sayısı -1 ile 0 arasında olduğundan ... sayısı da ...'den küçüktür. Bu nedenle ... çarpımının ...'den küçük olduğunu söyleyebiliriz.

Sonuçta, I ve III'te verilen ifadeler elde edilebilen en büyük sayıdan küçüktür.

CEVAP: I ve III

TYT ve AYT Sınavlarında Pozitif ve Negatif Sayılar:

Geçmiş yılların TYT sorularında, pozitif ve negatif sayılarla ilgili yılda ortalama 0,57 soru sorulduğunu, başka bir deyişle yaklaşık olarak her iki yılda ortalama 1 soru çıktığını görüyoruz. Bu soruların yarısı pozitif ve negatif sayılarla yapılan işlemlere, diğer yarısı ise sayı doğrusunda gösterimlerine odaklanmaktadır.

AYT sınavlarında ise bu konudan yıllık soru ortalamasının 1’e çıktığını ve büyük oranda diğer konularla bağlantılı olarak işlendiğini gözlemliyoruz.

Pozitif ve negatif sayıların önemi sadece işaret belirleme ile sınırlı kalmayıp, farklı konularla ilgili sorularda da bu terimler kullanılmaktadır. Ortalama olarak TYT’de 0,86 ve AYT’de 5,14 kez 'pozitif' terimiyle karşılaşırken, 'negatif' terimine yalnızca 2024 AYT sınavında rastlıyoruz.