Rakamlar
Basamaklar
Pozitif
Negatif

TYT MATEMATİK KONU ANLATIMI

KONU: TEMEL İŞLEMLER

TOPLAMA İŞLEMİ

Toplama işlemi elemanları

TOPLAMA İŞLEMİ HAKKINDA GENEL BİLGİLER

  • Toplamanın etkisiz elemanı 0

    Sıfır, toplamanın etkisiz elemanıdır. Herhangi bir sayının sıfırla toplamı bu sayının kendisine eşittir.

  • Toplamanın değişme özelliği

    Toplanan sayılar yer değiştiğinde sonuç yine aynı çıkar.

  • Toplamayla çarpmanın ilişkisi

    n tane a sayısının toplamı n ve a sayılarının çarpımına eşittir.

  • Pozitif tam sayıların toplamı, toplanan sayıların hepsinden büyüktür.

  • n basamaklı 10 veya daha az sayının toplamı en fazla n + 1 basamaklı olabilir.

  • Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yalnız, ek bir bilgi verilmemişse, toplamları doğal sayı olan sayıların kendilerinin doğal sayı olup olmadığını bilemeyiz.

Örnek:

İki basamaklı ve birbirinden farklı üç doğal sayının toplamı 95 ise, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

Küçük olan sayılar en az 10 ve 11'dir. Bu değerler için en büyük sayı 95 - (10 + 11) = 74 çıkar.

CEVAP: 74

ONDALIK GÖSTERİMLERİN TOPLAMI

Ondalık gösterimlerin toplamı

Ondalık gösterimleri toplarken virgülleri aynı hizaya getiririz ve eksik basamakların yerinde 0 olduğunu varsayarız.

ÇIKARMA İŞLEMİ

Çıkarma işlemi elemanları

ÇIKARMA İŞLEMİ HAKKINDA GENEL BİLGİLER

  • Büyük bir sayıdan küçük bir sayı çıkarıldığında sonuç pozitif, küçük bir sayıdan büyük bir sayı çıkarıldığında ise sonuç negatif olur.

  • Çıkarma işleminde elemanları yer değiştirme

    Bir çıkarma işlemindeki sayıları yer değiştirdiğimizde sonucun işareti de değişir.

  • Sıfırla çıkarma işlemi

    Herhangi bir sayıdan sıfır çıkarıldığında sonuç, sayının kendisine eşittir; sıfırdan bir sayı çıkarıldığında ise bu sayının -1 katı elde edilir.

  • Bir çıkarma işlemindeki sayıları yer değiştirdiğimizde sonucun işareti de değişir.
  • Küçük sayıdan büyük sayıyı çıkarma

    Küçük bir sayıdan büyük bir sayıyı çıkarabilmek için

    • Büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarır,
    • Sonucun başına eksi işareti koyarız.
  • Toplamayı karşıya çıkarma olarak atma

    Eşitliğin bir tarafında toplanan bir terim karşı tarafa çıkarma olarak geçer.

  • Çıkarmayı karşıya toplama olarak atma

    Eşitliğin bir tarafından çıkarılan bir terim, karşı tarafa geçtiğinde oradaki terimlerle toplanır.

Örnek:

a, b ve c birbirinden farklı tam sayılardır.

a - b > 0,

a - c < 0 ve

b > 10

olduğuna göre a · c çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

a - b > 0 ise a sayısı b'den büyüktür.

a - c < 0 ise a sayısı c'den küçüktür.

Dolayısıyla, en büyük sayı c, ortanca sayı a ve en küçük sayı b'dir.

c > a > b

b sayısı 10'dan büyükse en az 11 olabilir. a'ya verebileceğimiz en küçük değer 12 ve c'ye verebileceğimiz en küçük değer 13'tür. Bu nedenle en küçük a · c çarpımı 12 · 13 = 156'dır.

CEVAP: 156

ONDALIK GÖSTERİMDE ÇIKARMA

Ondalık gösterimde çıkarma

Toplama işleminde olduğu gibi ondalık gösterimler arasında çıkarma yaparken virgülleri hizalar ve eksik olan basamakların yerinde 0 olduğunu varsayarız.

 

ÇARPMA İŞLEMİ

Çarpma işlemi elemanları

ÇARPMA İŞLEMİ HAKKINDA GENEL BİLGİLER

  • Çarpmanın etkisiz elemanı

    Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir. Herhangi bir sayının 1'le çarpımı bu sayının kendisine eşittir.

  • Çarpmanın yutan elemanı

    Çarpmanın yutan elemanı 0'dır. Herhangi bir gerçel sayının 0'la çarpımı 0'a eşittir.

  • Çarpma işlemi elemanları

    Yukarıdaki formülleri kullanarak çarpmanın elemanlarından birini diğerleri cinsinden bulabiliriz.

  • Denklemde çarpanı karşıya atma

    Eşitliğin bir tarafındaki çarpım karşı tarafa bölme olarak geçer.

Örnek:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.

(a - b) · c = 0 ve

(a - c) . b = 36

ise (a + 1)(b + 1)(c + 1) işleminin sonucu kaçtır?

(a - b) · c işleminin sonucu 0'a eşitse a - b ve c sayılarından en az birinin 0 olması gerekir. a - b'nin 0 olması, a ile b'nin eşit olduğu anlamına gelir. Yalnız, a ve b farklı rakamlar olduğundan a - b işleminin sonucu 0 olamaz. Dolayısıyla, c'nin değeri 0'dır. Bu değeri ikinci denklemde yerine yazdığımızda a ile b'nin çarpımının 36 olduğunu görebiliriz.

(a - 0) · b = a · b

Çarpımları 36 olan farklı rakamlar 4 ve 9'dur. Buna göre (a + 1)(b + 1) çarpımı 5 · 10 = 50'ye eşittir. (c + 1) sayısı da 1'e eşit olduğundan sonuç 50'dir.

CEVAP: 50

  • Pozitif bir sayıyı 1'den büyük bir gerçel sayıyla çarptığımızda daha büyük bir sayı elde ederiz.

Örnek:

Birden büyük sayıların çarpımı

Yukarıdaki sayı doğrusunda işaretlenen a ve b sayılarının ikisi de 1'den büyüktür. Dolayısıyla, a · b çarpımı hem a'dan hem de b'den büyüktür.

  • Pozitif bir sayıyı 1'den küçük bir sayıyla çarptığımızda daha küçük bir sayı elde ederiz.

Örnek:

Birden küçük sayıyla çarpma

Yukarıdaki sayı doğrusunda a sayısı 0 ile 1 arasında ve b sayısı 1'den büyüktür.

a'nın değeri 1'den küçük olduğu için a · b çarpımı b'den küçüktür.

b'nin değeri 1'den büyük olduğundan a · b çarpımı a'dan büyüktür.

Özetle, a · b çarpımı a ile b arasında olmalıdır.

ONDALIK GÖSTERİMLERİN ÇARPIMI

Ondalık sayıların çarpımı

Ondalık gösterimdeki sayıları çarpmak için

  • Çarpanlardan her birinin ondalık ksımında kaç basamak olduğunu sayar ve bu sayıları toplarız.
  • Çarpanlardaki virgülleri kaldırarak tam sayılar elde ederiz.
  • Elde ettiğimiz tam sayıları çarparız.
  • Sonucun ondalık kısmında ilk adımda elde ettiğimiz toplam basamak sayısı kadar rakam olacak şekilde sonuca virgül koyarız.

Örnek:

3,56 × 62,732 = ?

İlk çarpanda virgülün sağında 2 ve ikinci çarpanda virgülün sağında 3 basamak var. Toplam basamak sayısı 2 + 3 = 5 çıkar.

Çarpanlardaki virgülleri kaldırdığımızda sırasıyla 356 ve 62732 sayılarını elde ederiz.

Bu iki tam sayının çarpımı 22332592'dir.

Virgülü ondalık kısımda 5 basamak kalacak şekilde yerleştirdiğimizde karşımıza 223,32592 sayısı çıkar.

Buna göre, 3,56 × 62,732 çarpımının sonucu 223,32592'dir.

CEVAP: 223,32592

Örnek:

0,06 × 0,08 = ?

Her iki çarpanda da virgülün sağında 2 basamak olduğundan toplam basamak sayısı 2 + 2 = 4'tür. Virgülleri attığımızda 6 ve 8 sayılarını elde ederiz. Bu sayıların çarpımı 48'dir. Virgülü, sağında 4 basamak kalacak şekilde yerleştirdiğimizde 0,0048 sonucunu elde ederiz. Buna göre 0,06 ile 0,08'in çarpımı 0,0048'dir.

CEVAP: 0,0048

 

BÖLME İŞLEMİ

Bölmenin öğeleri

BÖLME İŞLEMİ HAKKINDA GENEL BİLGİLER

  • Kalanlı bölme işleminde öğeleri bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz.

    • ...
    • ...
    • ...
    • ...
  • Kalanlı bölmede kalanın 0 olması bölünenin bölene tam (kalansız) bölündüğü anlamına gelir. Tam bölünebilme kurallarını ileriki konularda öğreniyoruz.
  • Kalansız bölme

    Kalanın 0 olmadığı bir bölme işleminde bu işleme devam ettiğimizde ondalık gösterimde bir sayı elde ederiz.

  • Keisr ve bölme

    Basit ve bileşik kesirler payın paydaya bölünmesiyle elde edilen sayıya eşittir Örneğin, ... kesri 7 ÷ 2 = 3,5'e; ... kesri 8 ÷ 4 = 2'ye; ve ... kesri 1 ÷ 3 = 0,333...'e eşittir.

  • Sayının 1'e bölümü

    Bir sayının 1'e bölümü kendisine eşittir.

  • 0'a bölme işlemi ise tanımsızdır.

  • Bölmeyi karşıya atma

    Eşitliğin bir tarafını bölen bir sayı, karşı tarafa çarpım olarak geçer.

  • Birden büyük sayıların çarpımı

    Pozitif bir sayıyı 1'den büyük bir sayıya böldüğümüzde daha küçük bir sayı elde ederiz. Örneğin, yukarıdaki sayı doğrusunda ... sayısı ...'nin solunda ve ...'ın sağındadır.

  • Birden küçük sayıyla çarpma

    Pozitif bir sayıyı 1'den küçük bir sayıya böldüğümüzde daha büyük bir sayı elde ederiz. Örneğin, yukarıdaki sayı doğrusunda ... sayısı ...'den daha büyük çıkar ve sayı doğrusunda ...'nin sağındadır.

Örnek:

Bölme örnek TYT sorusu

... ise, yukarıdaki sayı doğrusunda gösterilen ..., ..., ... ve ... gerçel sayılarıyla ilgili aşağıdaki eşitliklerden hangisi veya hangileri kesinlikle yanlıştır?

I) ...
II) ...
III) ...
IV) ...

... ve ... pozitif gerçel sayılardır. Bu sayıların çarpımı 1 ise ... sayısı 1'den küçük ve ... sayısı 1'den büyüktür.

Bölme örnek TYT sorusunun çözümü

I) ...'yi 1'den küçük pozitif bir sayıya böldüğümüzde ...'den büyük bir sayı elde ederiz. ... sayısı ...'den büyük olduğundan ... işleminin kesinlikle yanlış olduğunu söyleyemeyiz.

II) ... sayısı daha büyük bir sayı olan ...'ye bölündüğünde 0 ile 1 arasında bir sayı elde ederiz. Sonuç ...'ya eşitlendiği için bu eşitliğin de kesinlikle yanlış olduğunu söyleyemeyiz.

III) ... sayısı ...'den büyük olduğundan . ...'yi ...'ye böldüğümüzde 1'den büyük bir sayı elde ederiz. Dolayısıyla sonuç kesinlikle ... olamaz.

IV) ...'yi ...'ya böldüğümüzde ...'den büyük bir sayı elde etmemiz gerekiyor. ... daha küçük olduğundan bu işlem kesinlikle yanlıştır.

Özetle, III ve IV eşitlikleri kesinlikle yanlıştır.

CEVAP: III ve IV

Alıştırma:

Bölme alıştırması

Yukarıdaki işlemde AB iki basamaklı bir sayıdır. Bu işlemin doğru olabilmesi için B'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

ONDALIK GÖSTERİMLERDE BÖLME

Ondalık gösterimde bölme

Ondalık gösterimler arasında bölme yaparken, hem bölüneni hem de böleni aynı sayıyla çarparız. Çarpacağımız sayı, virgüllerden kurtulmamızı sağlayacak en küçük 10 kuvveti olmalıdır. Örneğin, 78,12'yi 6,3'e böleceğimizi düşünelim. Çarptığımızda hem 78,12'yi hem de 6,3'ü tam sayı yapan 10'un en küçük kuvveti 100'dür. Bölüneni 100'le çarptığımızda 7812 ve böleni 100'le çarptığımızda 630 sayısını elde ederiz. Bu nedenle 78,12'yi 6,3'e bölümünden elde edilen sayıyla, 7812'nin 630'a bölümünden elde edilen sayı aynıdır.

 

ÜSLÜ SAYILAR

Üslü sayı

Sayıların tekrarlı çarpımları üslü sayılarla ifade edilir. n tane a'nın çarpımı an şeklinde gösterilir. Bu gösterim ' a üzeri n ' veya ' a'nın n'ninci kuvveti ' şeklinde okunur.

Örnekler:

  • 23 = 2 · 2 · 2 = 8
  • 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
  • 32 = 3 · 3 = 9
  • 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256

ÜSLÜ SAYILAR HAKKINDA GENEL BİLGİLER

  • Birin kuvvetleri

    1'in tüm kuvvetleri 1'dir.

  • Sıfırın kuvvetleri

    0'ın tüm pozitif kuvvetleri 0'dır.

  • Sıfırıncı kuvvet

    0 dışındaki tüm sayıların 0'ıncı kuvveti 1'dir. 00 tanımsızdır.

  • Sayının karesi ve küpü

    Bir sayının ikinci kuvveti bu sayının karesi ve üçüncü kuvveti bu sayının küpüdür. Örneğin, 4 × 4 = 42 = 16 sayısı 4'ün karesi ve 4 × 4 × 4 = 43 = 64 sayısı 4'ün küpüdür.

  • Aşağıdaki kare ve küpleri bilmeniz bazı sorularda size hız kazandıracaktır.

    İlk 20 tam sayının karesi:

    12 = 1 112 = 121
    22 = 4 122 = 144
    32 = 9 132 = 169
    42 = 16 142 = 196
    52 = 25 152 = 225
    62 = 36 162 = 256
    72 = 49 172 = 289
    82 = 64 182 = 324
    92 = 81 192 = 361
    102 = 100 202 = 400

    İlk 10 tam sayının küpü:

    13 = 1 63 = 216
    23 = 8 73 = 343
    33 = 27 83 = 512
    43 = 64 93 = 729
    53 = 125 102 = 1000
  • Üslü sayılarla ilgili daha ayrıntılı bilgiye ve üslü sayılar arasındaki işlemlere ilerleyen konularda yer veriyoruz.

Örnek:

A, B, C ve D birer rakam, A6 ve BD iki basamaklı sayılar olmak üzere

B2 = A6 ve

C2 = BD

ise C + D'nin alabileceği en yüksek sayı kaçtır?

Birler basamağında 6 olan iki basamaklı tam kare sayılar (bir tam sayının karesi olan sayılar) 16 ve 36'dır. Buna göre, B = 4 veya B = 6'dır.

  • B = 4 ise C = 7 ve BD = 49'dur.
  • B = 6 ise C = 8 ve BD = 64'tür.

C + D toplamı en fazla 7 + 9 = 16 olabilir.

CEVAP: 16

 

İŞLEM ÖNCELİĞİ

İşlem yaparken aşağıdaki öncelik sırasını gözetiriz.

  1. Parantez
  2. Üslü Sayı
  3. Çarpma - Bölme
  4. Toplama - Çıkarma

Matematiksel işlemlerde iki tür parantezle karşılaşırız. İlk tür parantez, bir işlemin veya üslü bir ifadenin hangi sayıya uygulanacağını belirtmek için kullanılır; örneğin, 3 - (-3) ifadesinde negatif sayının çıkarılması veya 2 + (-3)2 örneğinde üssün negatif sayıya uygulanması gibi. İkinci tür parantez ise, içindeki işlemlerin öncelikle yapılması gerektiğini gösterir. Bir ifadede bu tür parantezler varsa, önce parantez içindeki işlemleri tamamlarız. Eğer iç içe parantezler bulunuyorsa, en yüksek işlem önceliği en içteki parantezde olup işlem sırası içten dışa doğru devam eder.

22 - 4 · (32 - (5 - 2)) = 22 - 4 · (32 - 3)

En yüksek önceliğe sahip olan parantezin içerisindeki işlemleri yaptığımızda sonucu bu parantez ve işlemlerin yerine yazarız. Parantez içi işlemlerde de yukarıda verilen öncelik sırasını takip ederiz.

22 - 4 · (32 - 3) = 22 - 4 · (9 - 3)

Parantez bulunmayan bir işlemle karşılaştığımızda, öncelikle işlemde üslü bir ifade olup olmadığına bakarız. Varsa, önce üslü sayının değerini hesaplayarak yerine yazarız.

2 + 3 · 5 - 2 ÷ 2 = 2 + 15 - 2 ÷ 2

Parantez veya üslü ifadeler içermeyen bir işlemde, en soldan başlayarak çarpma ve bölme işlemlerini sırayla tararız. İlk karşılaştığımız çarpma veya bölme işlemini yaparak, elde ettiğimiz sonucu orijinal ifade içinde yerine yazarız. Ardından, kalan çarpma ve bölme işlemlerini sırasıyla tamamlar, işlem sonucunu adım adım ilerleyerek elde ederiz.

5 - 3 + 2 - 4 = 2 + 2 - 4

Bir işlemde yalnızca toplama ve çıkarma kaldıysa, en soldan başlayarak işlemleri sırasıyla yapar, her sonucu yerine yazar ve işlemler bitene kadar bu adımları tekrar ederiz.

Çarpmanın bölmeyle ve toplamanın çıkarmayla önceliği aynıdır. Aynı önceliğe sahip işlemler art arda geldiğinde işlem yapmaya soldan başlarız.

Örnek:

(7 - (3 + 52))2 + 7 = ?

(7 - (3 + 52))2 + 7 = (7 - (3 + 25))2 + 7

(7 - (3 + 25))2 + 7 = (7 - 28)2 + 7

(7 - 28)2 + 7 = (-21)2 + 7

(-21)2 + 7 = 441 + 7

441 + 7 = 448

CEVAP: 448

TYT ve AYT Sınavlarında Temel İşlemler:

Geçmiş yıllarda çıkan TYT sorularını incelediğimizde yılda ortalama 1 sorunun temel işlemlerle ilgili olduğunu görüyoruz. AYT sınavlarında ise bu konuyla ilişkilendirebildiğimiz soru sayısının 0,85'e düştüğünü görüyoruz.

Hem TYT hem de AYT sınavlarında her ne kadar sadece temel işlem bilgisiyle yapılabilecek soru sayısı az olsa da bir çok sorunun çözümünde bir şekilde bu bilgilere ihtiyaç duyulduğu göz ardı edilmemelidir.

 

Temel işlemlerle ilgili TYT ve AYT soruları:

TYT 2018 : Soru 5 ve 7; TYT 2019 : Soru 5; TYT 2020 : Soru 8; TYT 2021 : Soru 2; TYT 2022 : Soru 5; TYT 2023 : Soru 5

AYT 2018 : Soru 3; AYT 2019 : Soru 2; AYT 2020 : Soru 1, 4 ve 7; AYT 2023 : Soru 1

Not: Yukarıdaki soru numaraları, ÖSYM'nin web sitesinde yayımlanan resmi sınav kitapçıkları temel alınarak verilmiştir.

 

KONULAR

TYT-AYT konu anlatımı

ÖNCEKİ KONU

RAKAMLAR VE BASAMAKLAR

SONRAKİ KONU

POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR

İLGİLİ BAĞLANTILAR