$\mathrm{\sqrt{16}=4=\dfrac{4}{1}}$

olduğundan $\mathrm{\sqrt{16}}$ sayısı rasyoneldir. Diğer seçenekler karekökten çıkmaz.

CEVAP: C

A) $\mathrm{\pi}$ irrasyoneldir.

B) $\mathrm{7,63=\dfrac{763}{100}}$ rasyonel bir sayıdır.

C) $\mathrm{111}$ sayısı rasyonel bir sayının karesi olmadığı için $\mathrm{\sqrt{111}}$ bir irrasyonel sayıdır.

D) $\mathrm{81=3^4}$ rasyonel bir sayının küpü değildir. Dolayısıyla, $\mathrm{\sqrt[3]{81}}$ rasyonel değildir.

CEVAP: B

A) Devirli sayılar rasyoneldir.

B) $\mathrm{\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3}$ rasyonel bir sayıdır.

C) $\mathrm{\sqrt{196}=\sqrt{14^2}=14}$ rasyonel bir sayıdır.

D) $\mathrm{\dfrac{\pi}{2\pi^2}=\dfrac{1}{2\pi}}$

$\mathrm{\pi}$ irrasyonel olduğu için $\mathrm{2\pi}$ de irrasyoneldir. Rasyonel bir sayının irrasyonel bir sayıya bölümü irrasyonel olduğundan $\mathrm{\dfrac{1}{2\pi}}$ de irrasyoneldir.

CEVAP: D

İfadeleri sadeleştirelim.

A) $\mathrm{\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}}=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}}$ → Rasyonel

B) $\mathrm{\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{81}}=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}}$ → Rasyonel

C) $\mathrm{\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}}$ → İrrasyonel

D) $\mathrm{\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}}$ → Rasyonel

CEVAP: C

$\mathrm{\sqrt{a+1}}$'i rasyonel yapan değerleri aşağıdaki gibi listeleyebiliriz.

• $\mathrm{a=0}$ için $\mathrm{\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1}$
• $\mathrm{a=3}$ için $\mathrm{\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2}$
• $\mathrm{a=8}$ için $\mathrm{\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3}$

Buna göre, $\mathrm{a}$'nın alabileceği değerler toplamı 0 + 3 + 8 = 11'dir.

CEVAP: 11

$\mathrm{\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}}$

Bu sayıyı $\mathrm{\sqrt{3}}$'e böldüğümüzde sonuç rasyonel çıkar.

$\mathrm{\dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5}$ çıkar.

CEVAP: B

A) Hem $\mathrm{\sqrt{9}}$ hem de $\mathrm{\sqrt{19}}$ rasyoneldir.

B) Hem $\mathrm{\sqrt{6}}$ hem $\mathrm{\sqrt{8}}$ hem de $\mathrm{\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}}$ irrasyoneldir.

C) $\mathrm{\sqrt{12}}$ ve $\mathrm{\sqrt{48}}$ irrasyonel olduğu halde $\mathrm{\sqrt{12}\cdot\sqrt{48}}$ rasyoneldir.

$\mathrm{\sqrt{12}\cdot\sqrt{48}=24}$

D) Hem $\mathrm{\sqrt{24}}$ hem $\mathrm{\sqrt{32}}$ hem de $\mathrm{\sqrt{24}\cdot\sqrt{32}}$ irrasyoneldir.

CEVAP: C

Karekökünün karekökü rasyonel olan sayılar 16 ve 81'dir.

• $\mathrm{\sqrt{16}=4}$ ve $\mathrm{\sqrt{4}=2}$
• $\mathrm{\sqrt{81}=9}$ ve $\mathrm{\sqrt{9}=3}$

CEVAP: 2

$\mathrm{a}$ sayısı 4, 13 ve 16 olduğunda sonuç rasyonel çıkar.

• $\mathrm{a=4}$ için

  $\mathrm{\dfrac{\sqrt{16-4}}{\sqrt{4-1}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=2}$

• $\mathrm{a=13}$ için

  $\mathrm{\dfrac{\sqrt{16-13}}{\sqrt{13-1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\dfrac{1}{2}}$

• $\mathrm{a=16}$ için

  $\mathrm{\dfrac{\sqrt{16-16}}{\sqrt{16-1}}=\dfrac{\sqrt{0}}{\sqrt{15}}=0}$

Buna göre soruda istenen toplam 4 + 13 + 16 = 33'tür.

CEVAP: 33

Yüzler basamağı 1 olan tam kare sayılar 100, 121, 144, 169 ve 196'dır. Bu sayılardan birler ve onlar basamağı farklı olanlar 121, 160 ve 196'dır. Buna göre

• A = 2 ve B = 1,
• A = 6 ve B = 9 veya
• A = 9 ve B = 6

olabilir. A · B'nin alabileceği en yüksek değer 6 · 9 = 54'tür.

CEVAP: 54

$\mathrm{b=0}$ için verilen ifadenin değeri

$\mathrm{\sqrt{a+0}\cdot\sqrt{a-0}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a}$

çıkar. $\mathrm{a}$ bir rakam olduğu için sonuç gerçel ve rasyonel çıkar. Buna göre, $\mathrm{b=0}$ için $\mathrm{a}$'nın alabileceği değerler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9'dur. Buradan 9 sayı ikilisi elde ederiz. Sonucu gerçel ve rasyonel yapan diğer değerler aşağıdaki gibidir.

• $\mathrm{a=5}$ ve $\mathrm{b=3}$ için

  $\mathrm{\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{a-b}}$ $\mathrm{=\sqrt{5+3}\cdot\sqrt{5-3}}$ $\mathrm{=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=4}$

• $\mathrm{a=5}$ ve $\mathrm{b=4}$ için

  $\mathrm{\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{a-b}}$ $\mathrm{=\sqrt{5+4}\cdot\sqrt{5-4}}$ $\mathrm{=\sqrt{9}\cdot\sqrt{1}=3}$

Toplam 11 sayı ikilisi için gerçel ve rasyonel bir sayı elde ederiz.

CEVAP: 11

I. ifade

$\mathrm{\pi\cdot a}$'yı rasyonel yapan tek doğal sayı $\mathrm{a=0}$'dır.

II. ifade

$\mathrm{a=0}$ için ikinci ifade

$\mathrm{\sqrt{b-a}=\sqrt{b}}$

olur. $\mathrm{\sqrt{b}}$ rasyonel ise $\mathrm{b}$ tam kare sayıdır.

III. ifade

$\mathrm{\sqrt{b\cdot c}=\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}}$

III. ifade irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıyla $\mathrm{\sqrt{c}}$'nin çarpımının irrasyonel olabilmesi için $\mathrm{\sqrt{c}}$'nin de irrasyonel olması gerekir. Dolayısıyla $\mathrm{c}$ bir tam kare sayı değildir.

IV. ifade

$\mathrm{\sqrt[3]{c-a}=\sqrt[3]{c}}$

$\mathrm{\sqrt[3]{c}}$ rasyonel olduğundan, $\mathrm{c}$ bir tam küptür (bir tam sayının küpüdür).

Tam kare olmadığı halde tam küp olan tek seçenek B'dir.

CEVAP: B