Soru 16:

Her birinin kütlesi 4 g olan mavi ve her birinin kütlesi 28 g olan sarı bilyelerden yeterli sayıda vardır. Bu bilyelerin toplam kütlesi 700 gramdan fazladır.

Mavi ve sarı bilyelerin tamamı; her bir A torbasında 36 g, her bir B torbasında ise 60 g bilye olacak şekilde A ve B torbalarına yerleştirilmiştir. A torbalarındaki bilyelerin toplam kütlesi, B torbalarındaki bilyelerin toplam kütlesine eşittir.

Buna göre, başlangıçtaki toplam bilye sayısı en az kaçtır?

A) 24

B) 32

C) 48

D) 96

Çözüm:

Torba Sayıları:

A torbalarındaki kütlelerin toplamı gram cinsinden 36'nın, B torbalarındaki kütlelerin toplamı ise gram cinsinden 60'ın tam katıdır. A ve B torbalarındaki toplam kütlelerin eşit olabilmesi için bu kütlelerin gram cinsinden 36 ve 60'ın ortak katı olması gerekir. Bu sayıların en küçük ortak katı 180'dir.

Dolayısıyla ortak katlar 180, 360, 540, 720, 900...'dür.

A ve B torbalarında 180'er gram bilye olsaydı toplam kütle 180 + 180 = 360 gram olurdu. Yalnız bu değer 700'den fazla değildir. Ortak katlar arasında toplam kütleyi 700 gramdan fazla yapan en küçük sayı 360'tır. A ve B torbalarında 360'şar gram bilye olduğu durumda toplam ağırlık 360 + 360 = 720 gram yapar.

• 36 gramlık torbaların toplam kütlesi 360 gram ise bu torbalardan 360 ÷ 36 = 10 tane vardır.
• 60 gramlık torbaların toplam kütlesi 360 gram ise bu torbalardan 360 ÷ 60 = 6 tane vardır.

Dolayısıyla, en az 10 + 6 = 16 torba bilye bulunmaktadır.

Torbalardaki Bilye Sayıları:

Bir torbadaki olası en düşük bilye sayısını hesaplayabilmek için 28 gramlık bilyelerden mümkün olduğunca fazlasının bu torbada olduğunu varsayıp geriye kalan kütlenin de 4 gramlık bilyelerden oluştuğunu düşünebiliriz. Bu stratejiyi uyguladığımızda, 36 gramlık torbada en az 3 bilye olduğunu görebiliriz. 36 gramın 28 gramlık kısmını 1 sarı bilye ve geriye kalan 8 gramlık kısmı 2 mavi bilye oluşturabilir.

60 gramlık torbada da en az 3 bilye vardır. Bu bilyelerden ikisi 28 gramlık sarı ve 1'i 4 gramlık mavi bilyedir.

Toplam Bilye Sayısı:

Yukarıda elde ettiğimiz sonuçlara göre en az 16 torba ve her torbada en az 3 bilye vardır. Buna göre toplam en az 16 × 3 = 48 bilye vardır.

CEVAP: C