ÇARPANLAR VE KATLAR


KONU 1: ÇARPAN NEDİR?

BÖLÜM 2: ÇARPAN NASIL BULUNUR?


BÖLÜM 2: ÇARPAN NASIL BULUNUR?

Bir tam sayının çarpanlarını farklı yöntemler kullanarak bulabiliriz. Bunlardan muhtemelen en uzun olanı, ilk bölümde yaptığımız gibi, verilen sayıyı 1'den kendisine kadar olan tüm sayılara bölüp, kalanın 0 olup olmadığına bakmaktır. Aşağıdaki bilgileri kullanarak çarpanları daha hızlı bulabiliriz.

 

    1 ve Sayının Kendisi

  • 1 Çarpandır

    1, tüm pozitif tam sayıların çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar 1'e kalansız böldüğü için 1'i direk olarak çarpan listesine yazabiliriz.

  • Sayının Kendisi Çarpandır

    Pozitif bir tam sayı, kendisinin çarpanıdır. Tüm pozitif tam sayılar kendisine kalansız bölünür. Sayının kendisini de çarpan listesine direk olarak ekleyebiliriz.

  •  

    Diğer çarpanlar

    Pozitif bir tam sayı olan a'nın çarpanlarını bulmak istediğimizi düşünelim. Yukarıda 1 ile a'nın bu sayının çarpan listesinde mutlaka olması gerektiğini gördük. Diğer çarpanları bulabilmek için 1 ile a arasında kalan tam sayıların a'yı tam bölüp bölmediğini kontrol edebiliriz. Yalnız, bu sayıların tümünü kontrol etmeden de sonuca ulaşabiliriz.

  • Bir seferde iki çarpan

    Kalansız bir bölme işleminden iki farklı çarpan elde edebiliriz. Hem böldüğümüz sayı hem de bulduğumuz sonuç birer çarpandır. Bu çarpanlar birbirinden farklıysa, listemize ikisini de ekleyebiliriz. Örneğin, 12 sayısı 2'ye kalansız bölünür. 12'yi 2'ye böldüğümüzde sonuç 6 çıkar. Buradan, hem 2 hem de 6 sayılarının, 12'nin çarpanı olduğu sonucuna varabiliriz.

  • Çarpan bulurken test edilecek sayılar

    a'nın çarpanlarını bulabilmek için a'ya kadar olan tüm sayıları test etmemiz gerekmez. 2'den başlayarak, a’nın kareköküne eşit veya daha küçük tam sayıların a'yı tam bölüp bölmediğini denememiz yeterlidir. Başka bir deyişle, 2’den başlayarak karesi a’ya eşit veya daha küçük pozitif tam sayılara bakmamız bize tüm çarpanları verecektir. Eğer a, iki tam sayının çarpımına eşitse, bu sayıların ikisi birden a'nın karekökünden büyük olamaz. a'nın karekökünden küçük olan çarpanları bulursak, diğer çarpanları bölme işlemi yaparak da hesaplayabiliriz.

  • a'nın bir tam sayıya kalansız bölünüp bölünmediği test edebilmek için bölme yapmak yerine bölünebilme kurallarını kullanmamız kolaylık sağlayacaktır.

KISACASI, a'nın çarpanlarını bulabilmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

  • 1 ve a'yı listeye ekleriz.
  • 2'den başlayarak, karesi a'dan büyük olmayan tam sayıların a'yı kalansız bölüp bölmediğini test ederiz. Bazı sayılar için bölünebilme kurallarını kullanabiliriz.
  • a'yı kalansız bölen bir sayı ile karşılaştığımızda,

    • hem bu sayıyı
    • hem de a'yı bu sayıya böldüğümüzde elde ettiğimiz sonucu

    çarpan listesine ekleriz.

24’ün çarpanlarını bulalım.

  • 1'i ve 24'ü çarpan listesine ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 24)
  • 2'den başlayarak karesi 24'ten büyük olmayan tam sayıların 24'ü tam bölüp bölmediğini test edelim. Bu sayılar 2, 3 ve 4'tür.
  • (2) : 24 çift olduğu için 2'ye kalansız bölünür. Bu nedenle, 24'ün çarpanlarından biri 2'dir. 24'ün 2'ye bölümü, 12'ye eşittir. Buna göre, 24'ün diğer bir çarpanı da 12'dir. (Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 12, 24)
  • (3) : 24'ün rakamları toplamı (2 + 4 = 6) 3'ün tam katı olduğu için çarpanlarından biri 3'tür. 24'ün 3'e bölümü, 8'e eşittir. Bu nedenle 24'ün çarpanlardan bir diğeri de 8'dir. (Şu anki çarpan listesi: 1, 2, 3, 8, 12, 24)
  • (4) : 24 sayısı 4'e kalansız bölünür. 24'ün 4'e bölümü 6'ya eşittir. Bu nedenle 4 ve 6 da 24'ün çarpanları arasındadır. (Çarpan listesi: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)
 

Yukarıdaki çıkarımlarımıza göre, 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

25’in çarpanlarını bulalım.

  • 1'i ve 25'i çarpan listesine ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 25)
  • 2'den başlayarak karesi 25'ten büyük olmayan tam sayıları test edelim. Bu sayılar 2, 3, 4 ve 5'tir.
  • (2) : 25 tek olduğu için 2'ye tam bölünmez.
  • (3) : 25'in rakamları toplamı (2 + 5 = 7) 3'ün tam katı değildir. 25, 3'e kalansız bölünmez.
  • (4) : 25, 4'e de tam bölünmez.
  • (5) : 25'in 5'e bölümü 5'e eşittir. 5'i de listeye ekleyelim. (Şu anki çarpan listesi: 1, 5, 25)

 

25'in çarpanları: 1, 5, ve 25'tir.

Bu yöntemi kullanarak farklı sayıların çarpanlarını da bulabilirsiniz. Sonuçlarınızın doğru olup olmadığını bu bağlantıdaki listeyi veya bu bağlantıdaki hesaplama aracını kullanarak kontrol edebilirsiniz.

Daha fazla ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK için buraya tıklayın.

Aşağıdaki sayıların tüm çarpanlarını bulun.

a) 8, b) 15, c) 33, d) 21, e) 98

CEVAPLAR - ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

 
 

ALIŞTIRMALARIN CEVAPLARI

Alıştırmalar-2

a) 1, 2, 4 ve 8, b) 1, 3, 5 ve 15, c) 1, 3, 11 ve 33 d) 1, 3, 7 ve 21, e) 1, 2, 7, 14, 49 ve 98

ALIŞTIRMALAR-2'NİN ÇÖZÜMLERİ

HATIRLATMALAR

→KONU ANASAYFASINA DÖN←

Çarpan Konu Anlatımı