Çözüm:

Toplam alanlarını hesaplayacağımız bölümleri turuncu ile gösterelim. Ayrıca, şekli daha rahat takip edebilmek için kat planındaki bölümlere A, B... gibi isimler verelim.

Soruda verilenlere göre, tüm bölgeler dikdörtgen şeklindedir ve kenar uzunlukları doğal sayıdır. Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımına eşit olduğu için kat planındaki bir bölümün kenar uzunlukları, alanının çarpanlarıdır. Turuncu bölgelerin toplam alanının alabileceği en küçük değeri hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının alabileceği değerleri bulmamız gerekir.

L bölümü:

L'nin solunda ve sağında kalan bölümlerin alanları, sırasıyla, 10 m² ve 35 m²'dir. Bu dikdörtgenlerin genişlik ve yüksekliklerinin alabileceği değerleri bulalım.

Kat planının geometrisinden dolayı, K ve M dikdörtgenlerinin yükseklikleri eşittir. Bu uzunluk, 10 ve 35'in ortak çarpanlarından biri olmalıdır.

• 10'un çarpanları 1, 2, 5 ve 10'dir.
• 35'in çarpanları ise 1, 5, 7 ve 35'dir.

Buna göre K ve M'nin ortak yüksekliği ya 1 m ya da 5 m'dir.

K ve M'nin yükseklikleri 1 m olsaydı, genişlikleri sırasıyla 10 m ve 35 m olurdu. Fakat bu mümkün değildir. Çünkü D'nin genişliği en fazla 24 m olabildiği halde, sadece M'nin genişliği dahi bu değeri aşmaktadır. Ortak çarpanlardan 1'i elediğimizde, geriye bir ortak çarpan kalır: 5. Buna göre, hem K'nın hem de M'nin yüksekliği kesinlikle 5 m'dir. Yan yana gelen dikdörtgenlerin yükseklikleri eşit olduğundan, L'nin yüksekliği de 5 m'dir.

Verilen alanları kullanarak K ve M'nin genişliklerinin metre cinsinden sırasıyla 2 ve 7 olduğunu görebiliriz. Buna göre D'nin genişliği 2 + 7 = 9 m'den uzun olmalıdır. 24'ün 9'dan büyük iki çarpanı bulunmaktadır: 12 ve 24.

D'nin genişliğini 12 m varsaydığımızda, L'nin genişliği 12 – 9 = 3 m olur. D'nin genişliğini 24 m varsaydığımızda ise, L'nin genişliği 24 – 9 = 15 m olur. Toplam alanın en küçük değerini bulmaya çalıştığımız için D'nin genişliğinin 12 m olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda L'nin alanı 3 × 5 = 15 m² olur.

(Bir sonraki adımda, A'nın alanını hesaplarken D'nin genişliğin 12 metreden fazla olduğu çıkarsa, bu genişliğin 24 m olduğunu düşünüp, alan hesaplamalarını buna göre tekrarlamamız gerekir.)

A bölümü:

A, B ve C bölümlerinin yükseklikleri eşittir. Ortak yüksekliğin ne kadar olduğunu bulabilmek için önceki kısımda olduğu gibi verilen alanların çarpanlarına bakmamız gerekir.

• 21'in çarpanları 1, 3, 7 ve 21'dir.
• 14'ün çarpanları ise 1, 2, 7 ve 14'tür.

Ortak çarpanlar 1 ve 7'dir. B ve C'nin yükseklikleri 1 m olamaz çünkü yükseklikleri 1 m olsaydı, genişlikleri sırasıyla 21 m ve 14 m olurdu. Yalnız bu genişliklerin toplamı D'nin tüm çarpanlarından büyüktür. Bu nedenle A, B ve C'nin yükseklikleri 7 m'dir.

Verilen alanları ve bulduğumuz yüksekliği kullanarak B ve C'nin genişliklerinin sırasıyla 3 m ve 2 m olduğunu görebiliriz. L'nin alanını hesaplarken D'nin genişliğinin 12 m olduğunu varsaymıştık. Buna göre A'nın genişliği 12 – (3 + 2) = 7 m'dir. Dolayısıyla, A'nın olası en küçük alanı 7 × 7 = 49 m²'dir.

Toplam Alan

Yukarıdaki çıkarımlara göre, turuncu bölgelerin toplam alanı en az 15 m² + 49 m² = 64 m²'dir.

CEVAP: C