Soru 6:

Yukarıdaki şekilde verilen her bir dairenin içine birbirinden farklı birer doğal sayı yazılacaktır. Bu sayılardan ikisi şekilde verilmiştir. Bulundukları dörtgenin köşelerindeki dairelerde yazan dört sayının çarpımına eşit olan A ve B sayıları aralarında asaldır.

Buna göre A + B en az kaçtır?

A) 162

B) 191

C) 258

D) 289

Çözüm:

Çözümü daha iyi takip edebilmek için verilen boşlukları isimlendirelim.

y sayısı hem A hem de B'nin köşesinde olduğundan iki sayının da çarpanıdır. Yalnız, aralarında asal olan A ve B sayılarının tek ortak çarpanı 1'dir. Bu nedenle y = 1 olmalıdır.

A + B'nin en düşük değerini aradığımız için diğer boşluklara da mümkün olduğunca küçük sayılar yazmamız gerekir. 2, 3 ve 4 sayılarını bu boşluklara yerleştirmeye çalışalım.

A'nın alt köşesinde 9 olduğu için bu sayı 9'a ve dolayısıyla 3'e kalansız bölünür. z, t veya u yerine 3 yazmamız, B'yi de 3'e bölünebilir yapar. Bu durumda A ve B aralarında asal olmaz. Dolayısıyla 3'ü yalnızca x yerine yazabiliriz. z ve t'nin bulunduğu dairelere de 2 ve 4 sayılarını yerleştirebiliriz.

Şimdi de geriye kalan son boşluğa yazabileceğimiz en küçük sayıyı bulalım. Halihazırda A'nın çarpanlarından biri 5 olduğu için bu sayıyı u yerine yazamayız. 6 sayısı ise 3'e kalansız bölünür. Bu nedenle, u yerine 6 yazmamız A ile B'nin aralarında asal olmasını engeller. Yalnız, şekildeki herhangi bir sayı 7'nin tam katı olmadığı için u yerine 7 yazabiliriz.

Yukarıda bulduğumuz sayıları kullandığımızda A'nın 135'e ve B'nin 56'ya eşit olduğunu görebiliriz.

A = 3 . 5 . 1 . 9 = 135

B = 1 . 4 . 7 . 2 = 56

Buna göre A + B toplamı en az 191'dir.

135 + 56 = 191

CEVAP: B